Microsoft Word - Transparencies03.doc
|
|
- Soňa Čechová
- pred 5 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: Priesvitka: 1
2 Relácie Definícia. Nech X a Y sú dve množiny, relácia R je definovaná podmnožina karteziánskeho súčinu týchto množín R X Y X a b c X Y R d Y Znázornenie relácie R ako podmnožiny karteziánskeho súčinu (vytieňovaná R = d, 1,c, 2,b, 3,d, 3,a, 4,c, 4. { } oblasť) dvoch množín X a Y, ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) Verzia: Priesvitka: 2
3 Relácia R môže byť alternatívne zadaná pomocou charakteristickej funkcie R= x,y ; µ x,y = 1 {( ) R ( ) } 1 µ R ( x,y) = 0 ( ak ( x, y) R) ak ( x, y) R ( ) Hovoríme o binárnej relácii, každý element ( x,y) číslom µ ( ) { 01}. R x,y, R je ohodnotený binárnym Definícia 3.2. Inverzná relácia R -1 (k relácii R X Y) je určená pomocou y,x X Y x,y R usporiadaných dvojíc ( ), ktorých inverzia patrí do relácie ( ) 1 R = ( y,x );( x,y) R { } Verzia: Priesvitka: 3
4 Nech P,Q X Y, ktoré sú špecifikované pomocou charakteristických funkcií = {( ) µ P ( ) = 1} a Q ( x,y ); Q ( x,y) P x,y ; x,y { 1} = µ = Definícia. Relácia R = P Q sa nazýva zjednotenie relácií P a Q vtedy a len vtedy, ak platí P Q = x,y ; µ x,y = 1 {( ) P Q( ) } ( x,y) max ( x, y ), ( x,y) { } µ = µ µ P Q P Q Relácia R = P Q sa nazýva prienik relácií P a Q vtedy a len vtedy, ak platí P Q = x,y ; µ x,y = 1 Relácia R {( ) P Q( ) } ( x, y) min ( x, y ), ( x,y) { } µ = µ µ P Q P Q = P sa nazýva doplnok relácie P vtedy a len vtedy, ak P = x,y ; µ x,y = 1 P {( ) P ( ) } ( x,y) ( x,y) 1 P µ = µ Verzia: Priesvitka: 4
5 Príklad Nech X = { 123,, } a Y = { p,q}, relácie P a Q majú tvar P = {( 1,q ),( 2,p ),( 3,q) } a Q = ( 1,q ),( 2,p ),( 3,p) Zjednotenie a prienik týchto relácií sú { } = {( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 )} a P Q = ( 1,q ),( 2,p) P Q,q,,p,,p,,q Inverzné relácie sú špecifikované Doplnky k reláciám sú { } 1 = {( 1) ( 2) ( 3) } a 1 Q = ( q, 1 ), ( p, 2 ), ( p, 3 ) P q,, p,, q, { } = {( 1 ) ( 2 ) ( 3 )} a Q = ( 1,p ),( 2,q ),( 3,q) P,p,,q,,p { } Verzia: Priesvitka: 5
6 Verzia: Priesvitka: 6 Grafická repreztentácia relácií a operácií nad reláciami p q X A Y p q X B Y P Q p q X C Y P Q p q X D Y P Q p q X Y P p q X Y Q -1 Y E F p q X G Y p q X H Y P Q
7 Maticová reprezentácia relácie Nech X = { x,x,...,x } a Y { y,y,...,y } X 1 2 m = 1 2 n sú dve množiny s mohutnosťami = m resp. Y = n. Relácia R špecifikovaná nad týmito množinami má tvar ( i j) R( i j) { 1} R= x,y ; µ x,y = Definícia. Matica A reprezentuje reláciu R má m riadkov a n stĺpcov, jej maticové elementy sú špecifikované formulou ( ( ) ) 1 pre x i,y j R Aij =µ R ( x i,yj ) = 0 ( pre ( x ) ) i,y j R Verzia: Priesvitka: 7
8 Príklad Maticová reprezentácia relácií P a Q z predchádzajúceho príkladu má tvar = {( 1 )( 2 )( 3 )} a ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P,q,,p,,q X Y { } Q =,q,,p,,p X Y 0 1 = A P, A Q 0 1 = Verzia: Priesvitka: 8
9 Kompozícia relácií { } { R 1} Definícia. Kompozícia dvoch relácií ( ) P ( ) 1 Q = ( y,z ); µ ( y,z) = 1 Y Z, označená R P Q ( x,z ); ( x,z) { Q } definovaná pomocou charakteristickej funkcie µ x,z = max min µ x,y, µ y,z ( ) ( ) ( ) P = x,y ; µ x,y = X Y a = = µ = { } R P Q y Alternatívne vyjadrenie kompozície dvoch relácií P a Q {( ); :( ) ( ) } R = P Q= x,z x X z Z y Y x,y P y,z Q tvoria usporiadanú dvojicu ( ), je V kompozícii R dva elementy x X a z Z x,z R vtedy a len vtedy, ak existuje taký medzielement y Y, pre ktorý platí, že x,y P y,z Q. ( ) a ( ) Verzia: Priesvitka: 9
10 Znázornenie kompozície dvoch relácií P a Q, výsledná relácia R obsahuje dvojicu (x,z) vtedy a len vtedy, ak existuje taký element y Y, že platí (x,y) P a (y,z) Q. X x ( x,z) R Y y ( x,y) P ( yz, ) Q Z z Verzia: Priesvitka: 10
11 Veta 3.1. Nech P, Q a R sú relácie definované nad takými množinami, aby nasledujúce operácie boli prípustné, potom platí ( ) P Q = Q P ( P Q) R= P ( Q R) P ( Q R) = ( P Q) ( P R) ( Q R) P= ( Q P) ( R P) P ( Q R) = ( P Q) ( P R) Q R P= Q P R P ( ) ( ) ( ) Verzia: Priesvitka: 11
12 Príklad = { }, Y = { y,y,y }, Z = { z,z,z } X x,x,x,x P X Y, Q Y Z A P =, A Q = Potom relácie P a Q majú tvar {( 1 1) ( 1 3) ( 2 3) ( 3 1) ( 3 2) ( 4 3) } P = x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y, Verzia: Priesvitka: 12
13 Kompozícia týchto relácií má tvar {( 1 1) ( 1 2) ( 2 2) ( 3 2) ( 3 3) } Q = y,z, y,z, y,z, y,z, y,z {( 1 1)( 1 2)( 1 3) ( 2 2) ( 2 3)( 3 1)( 3 2) ( 4 2) ( 4 3) } P Q = x,z, x,z, x,z, x,z, x,z, x,z, x,z, x,z, x,z Grafická interpretácia týchto relácií je znázornená na obrázku x 1 P y 1 y 1 Q z 1 x 2 y 2 y 2 z 2 x 3 y 3 y 3 z 3 x 4 A B x 1 x 2 x 3 x 4 P y 1 y 2 y 3 C Q x 1 z 1 x 2 z 2 x 3 z 3 x 4 Verzia: Priesvitka: 13 P Q D z 1 z 2 z 3
14 Vlastnosti relácií V tomto odseku budeme študovať diagonálne relácie P X X, ktoré sú definované ako podmnožina karteziánskeho súčinu X X. Definícia 3.6. Diagonálna relácia sa nazýva: x X x,x R, ( ) (1) reflexívna, ( ) ( ) (2) symetrická, ( x,y X) (( x,y) R ( y,x) R), (3) antisymetrická, ( ) ( ) ( ) (4) tranzitívna, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x,y X x,y R y,x R x = y, x,y,z X x,y R y,z R x,z R. Verzia: Priesvitka: 14
15 Príklad Nech X = R je množina reálnych čísel a diagonálna relácia P X Xmá interpretáciu x,y P x y (( ) ) ( ) Takto definovaná relácia P vyhovuje týmto podmienkam: (a) relácia P je reflexívna, pre každé reálne číslo x Xplatí x x, t. j. x,x P, ( ) (b) relácie P nie je symetrická, pretože pre x (c) relácia P je antisymetrická, z platnosti x a naopak, (d) relácia P je tranzitívna, z platnosti x y neimplikuje y x, y a y x plynie x = y, y a y z plynie x z. Verzia: Priesvitka: 15
16 Nech X { a,b,c,d} Príklad =, diagonálne relácia P X Xje špecifikovaná množinou P = {( a,a ),( a,b ),( a,c ),( b,a )(, b,c )(, b,d ),( d,d) } Táto relácia nespĺňa žiadnu vlastnosť z definície 3.6: (a) relácia P nie je reflexívna, ( b,b) P, (b) relácia P nie je symetrická, implikácia ( ) ( ) pravdivá, a,c P c,a P nie je (c) relácia P nie je antisymetrická, implikácia ( ) ( ) pravdivá, a,b, b,a P a = b nie je (d) relácia P nie je tranzitívna, implikácia ( )( ) ( ) pravdivá. a,b, b,d P a,d P nie je Verzia: Priesvitka: 16
17 Interpretácia diagonálnej relácie pomocou orientovaného grafu Relácia P X X má diagramatickú interpretáciu pomocou orientovaného grafu, V tomto prípade elementy množiny X sú vrcholy a usporiadané dvojice ( x,y) P sú orientované hrany, ktoré začínajú v x a končia v y. Vlastnosti diagonálnych relácií majú potom jednoduchú interpretáciu. Nech X { a,b,c,d} =, diagonálne relácia P X Xje špecifikovaná množinou P = {( a,a ),( a,b ),( a,c ),( b,a )(, b,c )(, b,d ),( d,d) } a b d c Verzia: Priesvitka: 17
18 (a) Relácia P je reflexívna, potom každý vrchol x X má slučku orientovanú hranu, ktorá začína a končí v tom istom vrchole. (b) Relácia P je symetrická, ak vrcholy x,y X sú spojené hranou ( x,y) P, potom existuje aj opačná hrana ( y,x) P. V tomto prípade symetrickej relácie, jej grafická interpretácia obsahuje hrany medzi vrcholmi x a y vždy po dvojiciach, t. j. existencia hrany (x,y) implikuje existenciu hrany (y,x), a naopak. (c) Relácia P je antisymetrická, medzi dvoma rôznymi vrcholmi x y nemôže existovať dvojica hrán (x,y) a (y,x). V prípade, že by existovala, potom z podmienky antisymtričnosti vyplýva, že x = y, čo je v spore s pôvodným predpokladom. (d) Relácia P je tranzitívna, z existencie hrán ( x,y ) a ( ) spoločný vrchol y a x z, vyplýva existencia hrany ( x,z ) y,z, ktoré majú Verzia: Priesvitka: 18
19 Nech X { a,b,c,d,e} Príklad =, diagonálna relácia definovaná nad touto množinou je určená grafom a b e c (1) relácia nie je reflexívna, potrebné slučky neexistujú na vrcholoch c a d, (2) relácia je symetrická, ak medzi vrcholmi x a y existuje hrana (x,y), potom existuje aj opačná hrana (y,x), (3) relácia nie je antisymetrická, z existencie dvojíc opačne orientovaných hrán na rôznych vrcholoch, nevyplýva rovnosť týchto dvoch vrcholov. (4) relácia nie je tranzitívna, pretože existencia hrán (e,a) a (a,d) neimplikuje existenciu hrany (e,d). Verzia: Priesvitka: 19 d
20 Relácia ekvivalentnosti Definícia. Diagonálna relácia P X X sa nazýva relácia ekvivalentnosti vtedy a len vtedy, ak je reflexívna, symetrická a tranzitívna. Reláciu ekvivalentnosti P budeme označovať symbolom, t. j. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x,y X x,y P x~ y Pomocou relácie ekvivalentnosti môžeme množinu X rozdeliť na dve disjunktívne podmnožiny X,X 1 2 X, kde X = X1 X2 a X1 X2 = x,y X1 x y x,y X2 x y x X y X x y ( ) ( ) ( ) 1 2 Verzia: Priesvitka: 20
21 Príklad Nech X = R je množina reálnych čísel, diagonálne relácia P X X je definovaná takto: x,y P x 2 = y 2 (( ) ) ( ) (1) Relácia P je reflexívna, pretože (2) relácia P symetrická, pretože x (3) relácia P je tranzitívna, pretože 2 2 x = x, pre každé x R, 2 2 = y implikuje y = x, x = y a y = z implikuje 2 2 x = z. 2 2 Z tohto vyplýva, že P je relácia ekvivalentnosti. Verzia: Priesvitka: 21
22 Definícia. Nech P je relácia ekvivalentnosti nad množinou X a nech x X. Trieda ekvivalentnosti [ x ], priradená elementu x, je množina všetkých možných elementov X, ktoré sú ekvivalentné danému elementu x x = y; x,y P { } [ ] ( ) Veta. Nech P X X je relácia ekvivalentnosti a nech x,y X x y x,y P. podmienka [ ] = [ ] je splnená vtedy a len vtedy, ak ( ). Potom Veta. Nech P X X je relácia ekvivalentnosti, potom množina X má disjunktný rozklad pomocou všetkých rôznych tried ekvivalentnosti X = x y... z [ ] [ ] [ ] Verzia: Priesvitka: 22
23 Príklad Nech X = R je množina reálnych čísel, relácia P X X je definovaná (( x,y) P) integer ( x) = integer ( y) ( ) kde funkcia integer(x) je definovaná ako maximálne celé číslo, ktoré je menšie alebo rovné reálnemu číslu x integer() x 2 [] 2 1 [ 1] -2 [-2] -1 [-1] -1-2 [0] i x [ ] [ 2] [ 1] [ 0] [ 1] [ 2] R = i = Verzia: Priesvitka: 23
24 Relácia čiastočného usporiadania Pre mnohé množiny je možné definovať reláciu usporiadania jej elementov. Tak napríklad, množina reálnych čísel R majú prirodzené usporiadanie svojich elementov pomocou relácie (pozri príklad 3.4). Táto relácia je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Definícia. Relácia P X X sa nazýva čiastočné usporiadanie vtedy a len vtedy, ak je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Množina X spolu s touto reláciou sa nazýva čiastočne usporiadaná množina (poset). Verzia: Priesvitka: 24
25 Príklad { } (1) Nech F je rodina podmnožín univerza U, F X; X ( U) = P. Pomocou množinovej relácie môžeme nad touto rodinou F definovať reláciu P tak, že (( X,Y ) P) ( X Y ). Ľahko sa presvedčíme, že táto relácia je čiastočne usporiadanie, je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. (2) Nech X = = { 1234,,,,...} N je množina kladných celých čísel. Definujme nad touto množinou reláciu P N N pomocou pojmu deliteľnosti; (( m,n) P) ( m je deliteľné n). Tak napríklad, pre X = { ,,,,, } relácia P obsahuje dvojice {( 11) ( 22)( 33)( 44) ( 55) ( 66) ( 21) ( 31)( 41)( 42) ( 51) ( 61) ( 62) ( 63) } P =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Táto relácia je čiastočné usporiadanie, pretože je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Verzia: Priesvitka: 25
26 Maximálny a minimálny element Definícia. Nech P X X je čiastočné usporiadanie. Maximálny element (ak existuje) xmax X je určený podmienkou x x,x, P (( max ) ) Minimálny element (ak existuje) xmin X je určený podmienkou x x,x P (( min ) ) Táto definícia maximálneho elementu x max X je založená na podmienke, že neexistuje taký element x X, ktorý by bol väčší ako element x max. Podobne, pre minimálny element x min X neexistuje taký element x X, ktorý by bol menší ako x min. Verzia: Priesvitka: 26
27 Študujme množinu X { 123,, } možné podmnožiny X P Príklad =, jej potenčná množina P(X) obsahuje všetky { } ( X ) =, { 1},{ 2},{ 3},{ 12, },{ 13, },{ 2, 3},{ 12,, 3} Čiastočne usporiadanie nad touto potenčnou množinou je relácia, potom maximálny (minimálny) element je {1,2,3} ( ). Verzia: Priesvitka: 27
28 Nech pre X { ,,,,, } ( m,n) P m je deliteľné n ( ) ( ) Príklad = relácia P deliteľnosti obsahuje dvojice, potom {( 11) ( 22)( 33)( 44)( 55) ( 66) ( 21) ( 31)( 41)( 42) ( 51) ( 61) ( 62) ( 63) } P =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Táto relácia je čiastočné usporiadanie, pretože je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Maximálny prvok je 1 a minimálne prvky sú 4, 5 a 6. Verzia: Priesvitka: 28
29 Hasseho diagramy Nech P je čiastočne usporiadaná množina s reláciou P X X. Hovoríme, že element y je pokrytý elementom x vtedy, ak ( x,y) P a neexistuje taký element z, P z,y P pre ktorý súčasne platí ( x,z) a ( ) y x Hasseho diagram relácie čiastočného usporiadania P X X obsahuje vrcholy, ktoré sú stotožnené s elementmi z X; pričom dva vrcholy x,y X sú spojené x,y P vtedy a len vtedy, ak element y pokrýva element x. hranou ( ) Poznámka: Hasseho diagram relácie čiastočného usporiadanie neobsahuje hrany, ktoré sú dôsledkom tranzitívnosti relácie. Verzia: Priesvitka: 29 z
30 Príklad Nakreslite Hasseho diagram relácie čiastočného usporiadania P deliteľnosti X = ,,,,,, relácia obsahuje dvojice potom { } (( m,n) P) ( m je deliteľné n) {( 11) ( 22)( 33)( 44)( 55) ( 66) ( 21) ( 31)( 41)( 42) ( 51) ( 61) ( 62) ( 63) } P =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Verzia: Priesvitka: 30
31 Príklad ( ) Hasseho diagram pre množiny X { a,b,c} = P, ktorá je čiastočne usporiadaná pomocou relácie je znázornený na obrázku { abc,, } { ab, } { ac, } { bc, } { a } { b } {} c Verzia: Priesvitka: 31
32 Hasseho diagram pre reláciu čiastočného usporiadania P nad konečnou množinou X ukazuje jasne maximálne a minimálne prvky. Veta. Každá relácia čiastočného usporiadania P X X obsahuje aspoň jeden minimálny element a aspoň jeden maximálny element. Nech a1 X, ak je tento element minimálny, dôkaz je dokončený. V opačnom prípade existuje a 2 X taký, že ( a,a 2 1) P. Element a 2 je buď minimálny alebo ak nie, potom existuje taký element a 3 X, že ( a,a 3 2) P. Pretože množina X má konečný počet elementov, tento proces predlžovania smerom dole, musí byť v nejakom momente ukončený elementom, ktorý je minimálny. Podobným spôsobom môžeme zostrojiť element, ktorý je maximálny. Verzia: Priesvitka: 32
33 Funkcie Pojem funkcie (alebo zobrazenia) patrí medzi základné pojmy matematiky. V matematike pod funkciou f rozumieme jednoznačný predpis pomocou ktorého každému argumentu x z množiny A priradíme práve jednu funkčnú hodnotu označenú f(x) z množiny B f : A B A B x y=f() x ( ( )) { } f = x, f x ;x A Verzia: Priesvitka: 33
34 Definícia Relácia f A B sa nazýva funkcia vtedy a len vtedy, ak pre každé x A existuje práve jedno y B x,y f také, že ( ) ( ) x! y x,y f Množina A sa nazýva doména funkcie f, dom(f), a množina B sa nazýva kodoména funkcie f, codom(f). Ak ( x,y) F, potom x sa nazýva argument a y sa nazýva funkčná hodnota (obraz). Funkcia sa taktiež nazýva zobrazenie alebo transformácia. Verzia: Priesvitka: 34
35 Znázornenie funkcie f A B, pre každé x A existuje práve jedno y B také, že ( x,y) { } f, f = ( x,y ),x,y ( ),x,y ( ),x,y ( ),x,y ( ) x 1 A B y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 Verzia: Priesvitka: 35
36 Definícia funkcie nezabezpečuje, aby množina funkčných hodnôt f A f x;x A bola totožná s množinou B, vo všeobecnosti platí len { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } B = codom f = f A = f x ;x A B A f B x y=f() x dom( f ) B= ' co dom( f ) =f( A) Verzia: Priesvitka: 36
37 Definícia. Hovoríme, že dve funkcie f : A B a g : A B sa rovnajú vtedy a len vtedy, ak súčasne platí (1) A = A a B = B, x A f x = g x. ( ) (2) ( ) ( ) ( ) Definícia. Hovoríme, že funkcia ia : A A je jednotková vtedy a len vtedy, ak x A i x = x ( ) ( ) A ( ) Doména a kodoména sú si rovné, ( ) ( ) dom i = codom i = A A A Verzia: Priesvitka: 37
38 Zložená funkcia Majme dve funkcie f : A B a g : B C, kompozíciou týchto dvoch funkcií vytvoríme novú funkciu h = f g: A C, ktorá sa nazýva zložená funkcia. A f B g C x y z h Zložená funkcia existuje len vtedy, keď prienik kodomény funkcie f a domény codom f dom g. funkcie g je neprázdny, ( ) ( ) Verzia: Priesvitka: 38
39 Definícia. Hovoríme, že kompozíciou funkcií f : A B a g : B zložená funkcia h = g f : A C, vtedy a len vtedy, ak ( ) ( )( ) C ( ) (( ) ) { } h = g f = x,z A C; y B x,y f y,z g vznikne Z tejto definície priamo plynie, že zložená funkcia h = g f existuje len vtedy, ak pre danú dvojicu ( x,z) A Cexistuje taký element y B, pre ktorý súčasne platí f y,z g codom f dom g. ( x,y) a ( ), alebo ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) g f x = h x = g f x = z Verzia: Priesvitka: 39
40 Študujme dve funkcie f: + 0 ( ) Príklad 2 (1) R R { }, ktorej analytický tvar je f ( x) = x, jej doména je dom( f ) = R množina reálnych čísel a kodoména je ( ) = R { 0} množina nezáporných reálnych čísel. ( ) ( { }) codom f + (2) g: R+ { 0} R + 0, ktorej analytický tvar je g ( x) rovnakú doménu a kodoménu ( ) = ( ) = R { 0} nezáporných reálnych čísel. dom g codom g + y f( x)= x 2 gx ()= x = x, táto má, množinu x Verzia: Priesvitka: 40
41 ( ) 2 Prvá zložená funkcia má tvar h( x) g f ( x) x x dom( h ) = R a kodoména je codom( h ) = R + { 0} reálnych čísel R na množinu nazáporných reálnych čísel R + { 0} funkcie h( x) = x je znázornený na obrázku = = =, jej doména je, t. j. zobrazuje množinu. Priebeh y h( x)= x x Verzia: Priesvitka: 41
42 ( ) ( ) 2 = = =, táto funkcia má Druhá zložená funkcia má tvar h ( x) f g( x) x x rovnakú doménu a kodoménu, ( ) = ( ) = R { 0} dom h codom h +, t. j. zobrazuje lineárne množinu nezáporných reálnych čísel na tú istú podmnožinu. Priebeh funkcie f ( x) = x je znázornený na obrázku y h'( x)= x x Zložené funkcie h( x ) a h ( x) sa nerovnajú, dom( h) dom( h ). Verzia: Priesvitka: 42
43 Inverzná funkcia Definícia Funkcia f : A B sa nazýva jedno-jednoznačná vtedy a len vtedy, ak vyhovuje podmienke x,x A x x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) Spojením tejto podmienky s podmienkou jednoznačnosti dostaneme ( ) ( x,x A) ( x x ) f ( x) f ( x ) ( ) To znamená, že podmienka rôznosti argumentov je ekvivalentná podmienke rôznosti ich funkčných hodnôt. Verzia: Priesvitka: 43
44 Schématické znázornenie jedno-jednoznačnej funkcie f : A B a A B 1 b c d e Ku každému argumentu je priradená práve jedna funkčná hodnota, a taktiež aj naopak, ku každej funkčnej hodnote existuje práve jeden argument. Verzia: Priesvitka: 44
45 Definícia. Jedno-jednoznačná funkcia f : A B sa nazýva bijekcia vtedy a len vtedy, ak pre každý element y B existuje v množine A taký element x, že y = f x. ( ) Definícia. Hovoríme, že k funkcii f : A B existuje inverzná funkcia f 1 : B A vtedy a len vtedy, ak je funkcia f bijekcia. Na základe tejto definície máme definotoricky zabezpečenú existenciu inverznej funkcie. Verzia: Priesvitka: 45
46 Veta 3.6. Nech funkcia f : A B je bijektívna, potom inverzná funkcia f 1 : B A vyhovuje týmto podmienkam ( 1 ( )) = B ( ) 1 ( ( )) = ( ) f f x i x f f x i x kde i X je jednotková funkcia nad doménou X. A Verzia: Priesvitka: 46
47 Verzia: Priesvitka: 47 Diagramy A a B znázorňujú zobrazenia f a f -1. Diagram C znázorňuje zloženú funkciu 1 : A h f f i A A = =, diagram D znázorňuje zloženú funkciu 1 : B h f f i B B = =. a b c d e A B a b c d e A A B f f -1 a b c d e A B D f a b c d e A B f B f -1 a b c d e A B f C
48 Príklad Zostrojte inverznú funkciu k funkcii f ( x) 1 = 1 + e x Táto funkcia zobrazuje doménu dom( f ) = R na kodoménu codom( f ) = ( 01, ). Funkcia je monotónne rastúca a vyhovuje asymptotickým podmienkam f ( ) = 1 a f ( ) = 0. Z monotónnosti vyplýva, že funkcia je jedno-jednoznačná, čiže k nej existuje inverzná funkcia, 1 x f ( x) = ln 1 x Verzia: Priesvitka: 48
49 Priebehy funkcií (A) f ( x) 1 ( 1 e x ) = + a (B) f 1 ( x) = lnx ( 1 x) y 1 y x 1 x A B Verzia: Priesvitka: 49
50 Na záver budeme počítať zložené funkcie f ( f 1 ( x )) = = = = ( 1 1 exp f ( x) ) 1 exp( ln x ( 1 x) ) 1 x x x ( ( )) 1 1 f ( x) 1+ e 1+ e 1 f ( x) 1 1 e 1+ x e 1+ e x x 1 x f f x = ln = ln = ln = lne = x x x Verzia: Priesvitka: 50
Microsoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieŠtudent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieMicrosoft Word - 8.cvicenie.doc
Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieMicrosoft Word - 16.kapitola.doc
6. kapitola Logická teória diagnózy zložitých systémov 6. Úvodné poznámky tanovenie diagnózy zložitých systémov v medicíne u človeka, veľkých výrobných zariadení, elektronických obvodov, a pod.) patrí
PodrobnejšieB5.indd
Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
Podrobnejšie1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013
1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšiePríklady Cvičenie 1 V krúžku je 20 študentov, ktorí sa zúčastnili skúšky z predmetu XX. Hodnotenie každého z nich je prvok z množiny H ta, B, C, D, E,
Príklady Cvičenie 1 V krúžku je 20 študentov, ktorí sa zúčastnili skúšky z predmetu XX. Hodnotenie každého z nich je prvok z množiny H ta, B, C, D, E, F Xu. Označme množinu študentov S. a) Môže byt zobrazenie
PodrobnejšieRelačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
Podrobnejšie2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 21. októbra 2010
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 21. októbra 2010 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 5 1.2.1 Literatúra..................................
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieGRAFICKÉ ZNÁZORNENIE ZNAČIEK A VZOR PREUKAZU INŠPEKTORA A. Grafické znázornenie značiek schváleného typu a osobitných značiek 1. Národné značky 1.1 Gr
GRAFICKÉ ZNÁZORNENIE ZNAČIEK A VZOR PREUKAZU INŠPEKTORA A. Grafické znázornenie značiek schváleného typu a osobitných značiek 1. Národné značky 1.1 Grafické znázornenie národnej značky schváleného typu
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšiePokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia
Pokročilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Ing. Viktor Kocur viktor.kocur@fmph.uniba.sk DAI FMFI UK 29.11.2017 Obsah 1 Segmentácia O čo ide 2 Watershed Princíp Postup 3 k-means clustering
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieAnalýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
PodrobnejšieČo sú pojmové mapy 1 Charakterizácia pojmových máp pojmové mapy sú diagramy, ktoré vyjadrujú podstatné vzťahy medzi pojmami vo forme tvrdení. Tvrdenia
Čo sú pojmové mapy 1 Charakterizácia pojmových máp pojmové mapy sú diagramy, ktoré vyjadrujú podstatné vzťahy medzi pojmami vo forme tvrdení. Tvrdenia sú v nich reprezentované stručne charakterizovanými
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA PRÁCA 2014 BYSTRÍK KUBALA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieTue Oct 3 22:05:51 CEST Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, kto
Tue Oct 3 22:05:51 CEST 2006 2. Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, ktoré si postupne rozoberieme: dátové typy príkazy bloky
PodrobnejšieAplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.
PodrobnejšieMicrosoft Word - veronika.DOC
Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TR
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TRIEDY SNARKOV Peter Gazdík DIPLOMOVÁ PRÁCA Vedúci diplomovej
PodrobnejšieStavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta,
Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 110 116. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403692
PodrobnejšiePodpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
Podrobnejšie12Prednaska
propozičná logika vs. logika prvého rádu globálna vs. kompozičná vetviaci sa čas vs. lineárny čas časové body vs. časové intervaly diskrétny čas vs. spojitý čas minulosť vs. budúcnosť distribovanosť vs.
Podrobnejšiefadsgasga
Základná geometria, Reprezentácia objektov Júlia Kučerová Úloha počítačovej grafiky Základy počítačovej grafiky a spracovanie obrazu 2015/2016 2 Referenčný model PG Aplikačný program Grafický systém Grafické
Podrobnejšiemidterm2019
Midterm 2019 Meno a priezvisko: obsahuje 5 príkladov, spolu 6+5+5+5+6 = 27 bodov 1) [6 bodov] Prvočíselný Prvočísel je nekonečne veľa, elegantný Euklidov dôkaz sporom hovorí: Ak by ich bolo konečne veľa,
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
PodrobnejšiePrehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...
PodrobnejšieMicrosoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia
Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšieZadání čtvrté série
Pomocný text Vektory V na²om pomocnom texte Vás prevedieme postupne afínnou geometriou, skalárnym sú inom dvoch vektorov, vektorovým sú inom a zmienime sa krátko o orientovanom obsahu a jeho vyuºití. Tento
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieROZBOR ROVNOVÁŽNYCH BINÁRNYCH DIAGRAMOV (2. ČASŤ) Cieľ cvičenia Zostrojiť rovnovážne binárne diagramy podľa zadania úloh na cvičení. Teoretická časť P
ROZBOR ROVNOVÁŽNYCH BINÁRNYCH DIAGRAMOV (2. ČASŤ) Cieľ cvičenia Zostrojiť rovnovážne binárne diagramy podľa zadania úloh na cvičení. Teoretická časť Predošlá kapitola bol venovaná rozboru základných rovnovážnych
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky x, y R platí f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + (y + 1)f(x)
PodrobnejšieHistória
Fakulta riadenia a informatiky ŽU Množiny Pojmy zavedené v 8. prednáške N-rozmerné polia Dvojrozmerné polia matica definícia typ[][] premenna inicializácia new typ[pocetriadkov][pocetstlpcov] práca s prvkami
PodrobnejšieSnímka 1
Generovanie LOGICKÝCH KONJUNKCIÍ doc. Ing. Kristína Machová, PhD. kristina.machova@tuke.sk http://people.tuke.sk/kristina.machova/ OSNOVA: 1. Prehľadávanie priestoru pojmov 2. Reprezentácia a použitie
PodrobnejšieRepublika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV
Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšieVrcholovo-disjunktné cykly v grafoch.
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Vrcholovo-disjunktné cykly v grafoch. Bakalárska práca 2013 Michal Janáčik Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky,
PodrobnejšiePríjmový a substitučný efekt zmeny ceny, elasticita dopytu.
TEÓRIA SPOTREBITEĽA: Individuálny dopyt, trhový dopyt, Engelova krivka, Elasticita dopytu, Spotrebiteľský prebytok Odvodenie krivky individuálneho dopytu Odvodenie optimálnej spotreby statkov pri daných
PodrobnejšieAktion.NEXT Novinky vo verzii 1.9
Aktion.NEXT Novinky vo verzii 1.9 Windows aplikácia Nové moduly a funkcionalita Prídavné moduly rozširujú systém Aktion.NEXT o dodatočné agendy a funkcie. Môže sa jednať o úplne novú funkcionalitu, ktorá
PodrobnejšieeKasa
Používateľská príručka Systém ekasa ekasa zóna (Portál podnikateľa - Prevádzkar) OBSAH Základné informácie o spoločnosti... 3 História zmien... 4 Obsah... 2 1 E-kasa zóna portál podnikateľa... 3 1.1 O
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Prog_p08.ppt
Štruktúra záznam Operácie s bitovými údajmi 1. Štruktúra záznam zložený typ štruktúry záznam varianty štruktúr záznam reprezentácia štruktúry záznam použitie štruktúry záznam v jazyku C 2. Operácie s bitovými
PodrobnejšieBakalárska práca
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE MICHAL ZACHAR Grafické modely v analýze diskrétních finančních dat Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
Podrobnejšie