Microsoft Word - veronika.DOC
|
|
- Jitka Procházková
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky, ostatné sú telesové. Hranol mnohosten, ktorého 2 steny sú navzájom zhodné mnohouholníky s rovnobežnými odpovedajúcimi hranami a so všetkými navzájom zostávajúcimi hranami navzájom rovnobežnými, sa nazýva hranol. Kolmý a pravidelný hranol ak je podstavou hranola pravidelný n uholník a hranol ja kolmý, hovoríme o pravidelnom hranole. Kváder hranol, ktorého všetky steny sú pravouholníky, sa nazýva kváder. Rovnobežnosten hranol, ktorého všetky steny sú rovnobežníky. Ihlan je mnohosten, ktorého jedna stena základňa je n uholník a všetky ostatné steny sú trojuholníky so spoločným vrcholom. Kocka je hranol, ktoré všetky steny sú pravidelné pravouholníky. Má stien. Kužeľ ak je v priestore daná rovina ρ s kruhom k = ( S, r) a bod V nepatrí ρ. Množina bodov všetkých priamok, ktoré prechádzajú bodom V a niektorým z bodov kruhu k, sa nazýva kužeľový priestor. Priamky, ktoré prechádzajú hraničnou kružnicou, tvoria kružnicovú kužeľovú plochu a nazývajú sa jej tvoriace priamky. Bod V sa nazýva vrchol kužeľového priestoru. Kruhový priestor (plášť) a kružnicová kužeľová plocha (podstava) tvoria kužeľ. Štvorsten má štyri steny a každá z nich utína všetky 3 osi v rovnakej konečnej vzdialenosti. Pravidelný štvorsten ktorého stenami sú rovnostranné trojuholníky. Valec časť priestoru, ktorá je ohraničená kružnicovou valcovou plochou a dvoma rovinami, ktoré sú navzájom rovnobežné a kolmé na všetky priamky prechádzajúcou kružnicovou valcovou plochou. Guľa je množina bodov v priestore, ktorých vzdialenosť od pevne zvoleného bodu S ( stredu gule), je menšia alebo rovná r, kladne zvolenému číslu. (r = polomer gule) Vrchol je priesečníkom hrán v mnohouholníku (označuje sa veľkými tlačenými písmenami napr. A,B) Hrana je to priamka, ktorá je priesečnicou 2 stien a je ohraničená 2 bodmi vrcholmi Stena plošný útvar, ktorý ohraničuje jednotlivé telesá Podstava je to n- hranný alebo zakrivený plošný útvar, ktorého bodmi prechádzajú všetky priamky, ktoré tvoria teleso. Je to časť telesa, jeho stena, na ktorej stojí. Sieť kocky je to plošný útvar, obsahujúci pravidelné pravouholníky (štvorce), ktoré sú stenami kocky a je ich. Sieť je plocha ohraničujúca teleso, ktorá je rozvinutá do jednej roviny. Výšky v štvorstene výška v stene štvorstena ( v jednom trojuholníku) je to kolmá vzdialenosť od vrcholu na protiľahlú stranu. Telesová výška je kolmá vzdialenosť spustená od vrcholu, na protiľahlú stenu (podstavu) Objem telesa kladná hodnota, ktorá sa priraďuje telesám v priestore. Je to priestor, ktorý ohraničujú steny telesa. Označuje sa V. Povrch telesa obsah plochy, ktorá teleso ohraničuje, jej povrch. Označuje sa S. KOCKA
2 V=a 3 S=.a 2 U=a. 3 u=a. 2 : U= 3. a=? V=? S=? : V= a 3 S=.a 2 U= a. 3 V= (3. 2) 3 S=.(3. 2) 2 U= 3. => a. 3 = 3. V= 3 3.( 2) 3 S= a 2.3 = 3 2. V= S=.18 a 2.3 = 3 2. V= S= 108 a 2.3 = 9. V= a 2 = 9./3 = 18 = 3. 2 KVÁDER u 1 = (a 2 + b 2 ) u 2 = (a 2 + c 2 ) u 3 = (b 2 + c 2 ) U = (a 2 + b 2 + c 2 ) V = a.b.c
3 S = 2.(a.b + a.c + b.c) a) Obsah podstavy, S p = 4cm 2 podstavou je štvorec odchýlka AG od postavy = 45 = α S =? cm 2 S p = 4 u 1 = (a 2 + b 2 ) S = 2.(a.b + b.c + c.a) S p = a 2 u 1 = ( 2.a 2 ) S = 2.(a 2 + a.c + a.c) a = 4 u 1 = a. 2 S = 2.(a a.c) a = 8 u 1 = 8. 2 S = 2.( ) S = 2.( ).v u 1 = c S = 2. ( ) cm 2 b) V = 4cm 3 Podstavou je štvorec Odchýlka AG od podstavy = 45 S =? cm 3 S = 2.( a a.c) S = 2.(a a 2 2) S = 2. a 2 ( ) S = 2.( 3 (32. 2)) 2. (1 + 2) S = 2. ( 3 (32 2.2)). (1 + 2) = (1 + 2) S = 2. ( 3 ( )). (1 + 2) = (1 + 2) S = ( ) V= ⅓.S p.v = ⅓.π.r 2.v S= S p + S pl = π.r 2 + π.r.s = π.r.(r + s) s (dĺžka strany kužeľa) = (r 2 + v 2 ) KUŽEĽ
4 S kužeľa = 235,5cm 2 Osový rez kužeľa je rovnostranný trojuholník V =? cm 3 v = ( s 2 r 2 ) s = 2.r S = π.r.(r + s) V = ⅓.π.r 2.v v = ((2.r) 2 r 2 ) S = π.r.(r + 2.r) V = ⅓.π.4,99.8, v = (4.r 2 r 2 ) 235,5 = π.3.r 2 V = 225,4 cm 3 v = (3.r 2 ) r = 4,99cm v = 8, cm PRAVIDELNÝ IHLAN V = ⅓.S p.v S = S p + S pl a = 3 s = S =?
5 v 1 = ( 3 2 1,5 2 ) S = S p + S pl v s = ( 2-1,5 2 ) v 1 = (9 9/4) S = 3. (27/4) (135/4). v s = (135/4) v 1 = (27/4) 2 2 S = 9. (27/4) + 3. (135/4) S pl = 3. (135/4) S p = 3. (27/4) S = S = 9.( ) 2 2 S = 9.( ) 2 PRAVIDELNÝ KOLMÝ HRANOL V = S p. V S = 2.S p + S pl a = 4 v = V =?
6 S =? v 1 = ( ) V= S p.v S = 2.S p.v v 1 = 12 V = S = V = S = S 1 = V = S = 48.( 3 + 3) 2 S 1 = r = a = 4 S 1 = 4. 3 V = S p. v = π.r 2.v S = 2.S p + S pl = 2.π.r π.v = 2.π.r.(r + v) VALEC Plynojem tvorí valec vysoký 1m s priemerom 28m, Ktorý je hore uzavretý guľovým vrchlíkom, stred guľovej plochy leží 4 m pod dnom valca. Aký je objem plynojemu? v = 1m r = 28m stred guľ. plochy = 4m od dna valca V =? m 3
7 d 2 = ( 1 + 4) v 2 = d ( S 2 S 1 + S 1 S ) d = 59 v 2 = 24,4-20 d = 24,4m v 2 = 4,4 m d = v 2 + S 2 S 1 + S 1 S V = Vvrchlíka + Vvalca V = π.v 2.(3.ρ 2 + v 2) + π.r 2..v V = π.4,4.( ,4 2 ) + π V = 11 20m 3 GUĽA V= 4/3.π.r 3 S= 4/3π.r 2 S = S p + S pl = πρ π.r.v V = π.v.(3ρ 2 + v 2 ) Guľový odsek (vrchlík)
8 v výška odseku ρ polomer podstavy odseku Q stred podstavy odseku S p obsah podstavy odseku S pl obsah guľového vrchlíka Guľová vrstva V = π.v. (3ρ ρ v 2 ) S = S p1 + S p2 + S pl = π.(ρ ρ 2 2 ) + 2.π.r.v r = 10cm v guľ. vrchlíka = cm S,V guľ. vrchlíka =?
9 S = 2.π.r.v S = 2.π.10. ρ 2 = ( ) S = 120π cm 2 ρ 2 = 84 cm V = π.v. (3ρ 2 + v 2 ) V = π.. (3( 84) ) V = π.( ) V = 288π cm 3 r 1 = ρ 1 = 7 cm V = π.v. (3ρ ρ v 2 ) r 2 = ρ 2 = 5 cm v = 2cm V =π.2.( ) V =? cm 3 V = 452.π cm 3 siete telies sú na: http//mathworld.wolfram.com/johnsonsolid.html.
Telesá Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c
Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Vypočítajte uhol α medzi podstavovou a telesovou
PodrobnejšiePrehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...
PodrobnejšieMicrosoft Word - mpicv11.doc
1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_2kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 17. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práva jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieMATEMATIKA
ÚVOD MATEMATIKA Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika nepredstavuje iba súhrn katalógov, ktoré stanovujú výkony a obsah vyučovacieho predmetu, ale je to predovšetkým program rôznych činností
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieUČEBNÉ OSNOVY
UČEBNÉ OSNOVY Predmet: Matematika 8. 9. ročník (ISCED ) Charakteristika predmetu: Učebný predmet matematika na. stupni ZŠ je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
Podrobnejšietkacikova
Apollonius z Perge (história matematiky) Jana Tkačíková, 4. roč. Mat-NV Apollonius z Perge Apollonius z Perge (približne 262-190 p.n.l.) bol grécky geometer a astronóm, je známy ako jeden z najvýznamnejších
PodrobnejšieRepublika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV
Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A
PodrobnejšieÚloha 1. Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru Ked že považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnak
Úloha. Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru 4. Ked že považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnako vel ké kocky. Aká dlhá bola strana Petržlenovej kocky?
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dvoch hráčov, ktorá má nasledujúce pravidlá: 1. Prvý
PodrobnejšieŠkVP_MAT
Súkromné Gymnázium DSA, Komenského 40, 083 01 Sabinov MATEMATIKA Učebné osnovy 3. september 2018 Názov predmetu Časový rozsah výučby Názov ŠkVP Názov ŠVP Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšiePL_2_2_vplyv_objemu
Pokus 1 (Lapitková, et al., 2010, s. 78) Cieľ pokusu Preskúmať, ako vplýva objem a tvar telesa na hĺbku ponoru. Úloha č.1 Porovnaj hĺbku ponorenia dvoch škatúľ s rôznymi objemami, ak ich rovnako zaťažíš
PodrobnejšieMatematika - úroven B.pdf
MATURITA 008 EXTERNÁAS MATEMATIKA úrove B kód testu: 8940 NEOTVÁRAJTE, POKAJTE NA POKYN! PREÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: Pri úlohách s
PodrobnejšieMaturita 2008 Test B
MATURITA 008 EXTERNÁAS MATEMATIKA úrove B kód testu: 8940 NEOTVÁRAJTE, POKAJTE NA POKYN! PREÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma tpmi úloh: Pri úlohách s
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme,
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme, že pre všetky prirodzené čísla n platí a n+1 = a 2
PodrobnejšieVyšetrovanie riešiteľnosti konštrukčných úloh pomocou trigonome
Vyšetrovanie riešiteľnosti konštrukčných úloh pomocou trigonometrie Božena Koreňová ABSTRACT: In the first part, the presented paper considers the importance and mission of teaching mathemathics at elementary
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieMatematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL
Matematika szlovák nyelven középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Dôležité pokyny
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky x, y R platí f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + (y + 1)f(x)
Podrobnejšie(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))
1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieKatalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšiePríloha č
STACIONÁRNE NÁDRŽE Prvá časť Vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly 1. Táto príloha sa vzťahuje na stacionárne nádrže, ktoré sa používajú ako uskladňovacie nádrže na kvapaliny okrem vody
Podrobnejšie59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2017/2018 Kategória G Archimediáda Doplnenie databázy úloh pre súťaž tímov obvodu, okresu, mesta máj 2
59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 017/018 Kategória G Archimediáda Doplnenie databázy úloh pre súťaž tímov obvodu, okresu, mesta máj 018 riešenie úloh 1. Tlak pneumatík automobilu na vozovku
Podrobnejšie59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2017/2018 Kategória E krajské kolo Texty úloh 1. Premiestnenie polystyrénovej kocky Riešenie: a) Hmotn
59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 07/08 Kategória E krajské kolo Texty úloh. Premiestnenie polystyrénovej kocky a) Hmotnosť kocky m = a 3 ρ. Pre ρ = 40,0 mg kg cm3 = 40,0 m3 máme m 40 kg.
PodrobnejšieMicrosoft Word - TeoriaMaR-pomocka2.doc
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA TECHNICKÝCH ZARIADENÍ BUDOV KRESLENIE SCHÉ TOKU SIGNÁLOV PODĽA DIN 19227 UČEBNÁ POÔCKA Č.2 pre 1. ročník inžinierskeho štúdia študijného programu
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje
PodrobnejšiePríloha č
SKÚŠOBNÉ SITÁ Prvá časť Všeobecné ustanovenia, vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly. Táto príloha sa vzťahuje na skúšobné sitá (ďalej len sito ), ktoré sa používajú ako určené meradlá
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s obdĺžnikovým dnom je 6 998,4 hektolitrov. Propagačný
PodrobnejšieStredná odborná škola technická, Kozmálovská cesta 9, Tlmače Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium)
Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium) 1. Počty žiakov a tried, ktoré možno prijať do prvého ročníka študijných odborov Podľa 65 ods. 1) Zákona č. 245/2008
PodrobnejšieSnímka 1
OBMEDZENIA A PREKÁŽKY Predpis L 14 I Letiská, hlava 4 Ing. Peter Koščák, PhD. Ochranné pásma letísk Legislatíva Zákon č. 143/1998 Z.z. o civilnom letectve Oddelenie OP letísk a LPZ Zákon č. 50/1976 Zb.
PodrobnejšieActa Mathematica Nitriensia Vol. 1, No. 2, p ISSN Význam geometrie v technickom vzdelávaní žiakov 2. stupňa základnej školy The Impor
Acta Mathematica Nitriensia Vol. 1, No. 2, p. 68 73 ISSN 2453-6083 Význam geometrie v technickom vzdelávaní žiakov 2. stupňa základnej školy The Importance of Geometry in Technical Education of Pupils
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšieProgramátorské etudy - Pascal
MODIFIKÁCIA OBRÁZKOV ÚLOHA NA HODINU Dorobte projekt Modifikácia obrázkov, ktorý je zameraný na prácu s grafickou plochou ako dvojrozmerným poľom. Modifikáciu 13 máte predpripravenú. Doprogramujte ďalšie
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieStavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta,
Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 110 116. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403692
PodrobnejšieMicrosoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník
P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieMicrosoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e
Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,
PodrobnejšieOtázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati
Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšiePríklad 1 Obtiažnosť: ľahká Opravovateľ: 1 Traja kamaráti majú spolu 30 rokov. Koľko budú mať spolu o 5 rokov? Príklad 2 Obtiažnosť: ľahká Opravovateľ
Príklad 1 Obtiažnosť: ľahká Opravovateľ: 1 Traja kamaráti majú spolu 30 rokov. Koľko budú mať spolu o 5 rokov? Príklad 2 Obtiažnosť: ľahká Opravovateľ: 2 Napíš najmenšie trojciferné číslo, ktoré sa skladá
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
Podrobnejšie1 OBZORY MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 0/XXXX (00) Zadania úloh 67. ročníka Matematickej olympiády Úlohová komisia Matematickej olympiády Abstract:
1 OBZORY MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 0/XXXX (00) Zadania úloh 67. ročníka Matematickej olympiády Úlohová komisia Matematickej olympiády Abstract: In this paper, we publish the problems of the homework
PodrobnejšieE/ECE/324 E/ECE/TRANS/ február 2010 Rev.1/Add.52/Rev.2/Amend.2 DOHODA O PRIJATÍ JEDNOTNÝCH TECHNICKÝCH PREDPISOV PRE KOLESOVÉ VOZIDLÁ, VYBAVENI
E/ECE/324 E/ECE/TRANS/505 19. február 2010 Rev.1/Add.52/Rev.2/Amend.2 DOHODA O PRIJATÍ JEDNOTNÝCH TECHNICKÝCH PREDPISOV PRE KOLESOVÉ VOZIDLÁ, VYBAVENIE A ČASTI, KTORÉ SA MÔŽU MONTOVAŤ A/ALEBO POUŽÍVAŤ
PodrobnejšieUrčenie hustoty látok Určiť hustotu je trochu pracné. Nemá zmysel, aby ju ľudia určovali stále, keď hustotu potrebujú. Preto je už hustota jednotlivýc
Určenie hustoty látok Určiť hustotu je trochu pracné. Nemá zmysel, aby ju ľudia určovali stále, keď hustotu potrebujú. Preto je už hustota jednotlivých látok zmeraná a uvedená v tabuľkách hustoty. Tabuľky
PodrobnejšieSnímka 1
STN EN 1991-2 ZAŤAŽENIE KONŠTRUKCIÍ ČASŤ 2: ZAŤAŽENIA MOSTOV DOPRAVOU (ŽELEZNIČNÉ MOSTY) Prednášajúci: Ing. Richard Hlinka, PhD. Tento príspevok vznikol vďaka podpore v rámci OP Vzdelávanie pre projekt
PodrobnejšieINFORMAČNÁ BROŽÚRA o teste z matematiky pre ôsmakov od školského roku 2018/2019 Ústredná skúšobná komisia Varšava 2017
INFORMAČNÁ BROŽÚRA o teste z matematiky pre ôsmakov od školského roku 2018/2019 Ústredná skúšobná komisia Varšava 2017 Redakčný tím: Edyta Warzecha (ÚSK) Renata Świrko (ÚSK v Gdansku) Iwona Łuba (ÚSK v
PodrobnejšieEgyptská matematika
Grécka matematika helenistické obdobie História matematiky Ingrid Semanišinová Helenistické obdobie (338 30 p.n.l) V období helenizmu sa grécky živel rozšíril ďaleko na východ, kde existovali v Ázii a
PodrobnejšieORGANIZÁCIA SPOJENÝCH NÁRODOV
ORGANIZÁCIA SPOJENÝCH NÁRODOV Hospodársky a sociálny výbor Distr. VŠEOBECNE ECE/TRANS/WP.29/2017/12 21. december 2016 Originál: ANGLICKÝ EURÓPSKA HOSPODÁRSKA KOMISIA VÝBOR PRE VNÚTROZEMSKÚ DOPRAVU Svetové
PodrobnejšieVypracované úlohy z Panorámy z fyziky II Autor: Martin Brakl UČO: Dátum:
Vypracované úlohy z Panorámy z fyziky II Autor: Martin Brakl UČO: 410 316 Dátum: 15.6.2013 Príklad 1 a) Aká je vzdialenosť medzi najbližšími susedmi v diamantovej mriežke uhlíka (C), kremíka (Si), germánia
Podrobnejšiegis7 prifuk
Kartografické aspekty GIS základné pojmy Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid Geoid Povrch zeme Referenčný elipsoid Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid
PodrobnejšiePravidlo I.
PRAVIDLO I. HRACIA PLOCHA 1. Rozmery. Hracia plocha musí mať tvar obdĺžnika. Dĺžka hracej plochy musí byť vždy väčšia ako šírka. Dĺžka hracej plochy nesmie byť väčšia ako 120 m a menšia ako 90 m; šírka
PodrobnejšieTestovanie Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matemat
Testovanie 9 2019 Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matematiky Test z matematiky riešilo spolu 37 296 žiakov 9.
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieOhyb svetla
Difrakcia (OHYB SVETLA NA PREKÁŽKACH ) Odpoveď: Nepíš a rozmýšľaj Svetlo aj zvuk sú vlnenie, ale napriek tomu sú medzi nimi orovské rozdiely. Počujeme aj to, čo sa deje za rohom Čo sa deje za rohom nevidíme.
PodrobnejšieZákladná škola, Školská 3, Čierna nad Tisou Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda
Základná škola, Školská 3, 076 43 Čierna nad Tisou Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda Predmet: Fyzika Školský rok: 2018/2019 Trieda: VIII.A,B
Podrobnejšieprijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc
Priezvisko a meno: " Sem nepíš! Kód: M-A-4r Kód: M-A-4r 1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava Test z matematiky (verzia A 12. máj 2014) Pokyny pre žiakov 1. 2. Tento test obsahuje
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieInteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Október, 2018 Katedra kybernetiky
Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Marian.Mach@tuke.sk http://people.tuke.sk/marian.mach Október, 2018 Katedra kybernetiky a umelej inteligencie FEI, TU v Košiciach 1 Best-first
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieODMERNÉ SKLÁ 1. Vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly 1.1 Táto príloha upravuje laboratórne odmerné sklo určené na meranie objemu kv
ODMERNÉ SKLÁ 1. Vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly 1.1 Táto príloha upravuje laboratórne odmerné sklo určené na meranie objemu kvapalín (ďalej len odmerné sklo ) ako určené meradlo
PodrobnejšieE/ECE/324
E/ECE/324 E/ECE/TRANS/505 11. júl 2016 Rev.1/Add.98/Rev.3/Amend.2 D O HO D A O PRIJATÍ JEDNOTNÝCH TECHNICKÝCH PREDPISOV PRE KOLESOVÉ VOZIDLÁ, VYBAVENIE A ČASTI, KTORÉ SA MÔŽU MONTOVAŤ A/ALEBO POUŽÍVAŤ
PodrobnejšieActa Mathematica Nitriensia Vol. 2, No. 1, p ISSN Zaujímavé nerozvinuteľné priamkové plochy v technickej praxi a bežnom živote Intere
Acta Mathematica Nitriensia Vol. 2, No. 1, p. 19 26 ISSN 2453-6083 Zaujímavé nerozvinuteľné priamkové plochy v technickej praxi a bežnom živote Interesting Ruled Surfaces in Technical Practice and Real-life
PodrobnejšieMicrosoft Word - navrh-na-tvvp-matematika-pre-tretiakov-bs
Návrh na tematický výchovno-vzdelávací plán pre predmet (TVVP) (aktualizovaný na školský rok 2019/2020) Stupeň vzdelania: ISCED 1 primárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami
PodrobnejšiePríklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5
Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5. Neriešené príklady 1 Príklady 1 - vektory 1. Súradné
Podrobnejšie5. XI Zderivujte a zintegrujte nasledovné funkcie: Príklady k cvičeniam z Fyziky (PEDAS) M. Gintner 1.2 Načrtnite priebeh funkcií z príkladu
1.1 Zderivujte a zintegrujte nasledovné funkcie: Príklady k cvičeniam z Fyziky (PEDAS) M. Gintner 1.2 Načrtnite priebeh funkcií z príkladu 1.1. 1.3 Nájdite riešenia nasledovných diferenciálnych rovníc:
PodrobnejšieRobert Bosch GmbH 2019, all rights reserved Nábytok na rozdelenie priestoru Len vynikajúci dojem Nábytok na rozdelenie priestoru Všetko má dve stránky
Nábytok na rozdelenie priestoru Len vynikajúci dojem Nábytok na rozdelenie priestoru Všetko má dve stránky. Ale táto priečka je krajšia ako iná. Takže hor sa do práce! 1 Úvod Čo je z masívneho dreva a
PodrobnejšieNÁZOV RUKOPISU PRÍSPEVKU DO DIDAKTICKÉHO ČASOPISU MIF
AKTIVITY MODELUJÚCE VEDECKÚ PRÁCU V RÁMCI TÉMY ODRAZ A ROZPTYL SVETLA Ágnes Bazso, Miroslava Urbašíková Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Abstrakt: V príspevku
PodrobnejšieAko vybrať hliníkové disky (elektróny)
1. Technický popis hliníkových diskov Každý disk je označený kódom, podľa ktorého sa dá identifikovať a porovnať s technickými údajmi vo Vašom technickom preukaze: 8J x 16", 4/100, ET30 8 - Šírka disku
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšiePonuka voliteľný ch predmetov do 4. roc níka na š k. rok 2016/2017 Triedý: III.S, III.IS Žiaci pokračujú v seminároch, ktoré si zvolili do 3. ročníka,
Ponuka voliteľný ch predmetov do 4. roc níka na š k. rok 2016/2017 Triedý: III.S, III.IS Žiaci pokračujú v seminároch, ktoré si zvolili do 3. ročníka, ich hodinová dotácia bude 3 hodiny týždenne, doplnia
PodrobnejšieI:/Konferencie/Ruzomberok 2007/Semanisinova_Ruzomberok2007.dvi
Úlohy z diskrétnej matematiky Ingrid Semanišinová Abstract. In this paper, we show utilization of discrete mathematics problems in mathematical classroom. Selected problems illustrated different student
PodrobnejšieKatedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005
Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 c Doc. RNDr. J á n D u p l á k, CSc. PREDSLOV Obsah AFINNÉ
Podrobnejšie