Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
|
|
- Vasil Tesař
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké
2 o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE!
3 o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! H. A. Lorentz presvedčil matematikov o naliehavosti riešenia tejto otázky pre fyziku. Hermann Weyl (1950)
4 obsah 1 počítanie stavov 2 kocka a guľa 3 ako sa to spraví
5 počítanie stavov ideálny plyn pod lupou opis plynu: n i N = n i, E = n i ɛ i atď.; počítanie stavov: 1 stav v bunke s objemom (2π ) 3 Vd 3 p (2π ) 3
6 počítanie stavov ideálny plyn pod lupou opis plynu: n i N = n i, E = n i ɛ i atď.; počítanie stavov: 1 stav v bunke s objemom (2π ) 3 Vd 3 p (2π ) 3 KLASICKÝ PLYN: n i = e (µ ɛ i )/kt v E sa veľkosť bunky skráti (D: z vyjadrenia N zrátame µ a dosadíme ho do E); môže o nej klasický plyn vedieť, keď pochádza z QM? ÁNO, vie o nej:
7 počítanie stavov ideálny plyn pod lupou opis plynu: n i N = n i, E = n i ɛ i atď.; počítanie stavov: 1 stav v bunke s objemom (2π ) 3 Vd 3 p (2π ) 3 KLASICKÝ PLYN: n i = e (µ ɛ i )/kt v E sa veľkosť bunky skráti (D: z vyjadrenia N zrátame µ a dosadíme ho do E); môže o nej klasický plyn vedieť, keď pochádza z QM? ÁNO, vie o nej: z entropie: S = n i ln n i (D: rozdelíme stavy do priehradiek a zrátame, koľkými spôsobmi môžeme do každej e priehradky dodať príslušný počet častíc) [ S = Nk ln V ( ) ] mt 3/2 N 2π Sackur-Tetrode 2 z chemického potenciálu: µ = kt ten istý logaritmus
8 počítanie stavov odkiaľ vieme veľkosť bunky? v kocke: z elementárneho výpočtu v iných nádobách:???
9 počítanie stavov odkiaľ vieme veľkosť bunky? v kocke: z elementárneho výpočtu v iných nádobách:??? učebnice: majme plyn v kocke / Landau-Lifšic: WKB v 1D s ľub. U bunka 2π ; ľub. D: predstava o bunke sa dá použiť vďaka jej vyššie spomenutému súvisu s počtom vlastných kmitov vlnového poľa ALE tie sa uvažujú zasa len v kocke
10 počítanie stavov odkiaľ vieme veľkosť bunky? v kocke: z elementárneho výpočtu v iných nádobách:??? učebnice: majme plyn v kocke / Landau-Lifšic: WKB v 1D s ľub. U bunka 2π ; ľub. D: predstava o bunke sa dá použiť vďaka jej vyššie spomenutému súvisu s počtom vlastných kmitov vlnového poľa ALE tie sa uvažujú zasa len v kocke čo by sme chceli: dôkaz, že ak sú stavy vysokoexcitované, ɛ 2 mv 2/3, kocka stačí čo platí v nej, platí v ľubovoľnej nádobe
11 počítanie stavov odkiaľ vieme veľkosť bunky? v kocke: z elementárneho výpočtu v iných nádobách:??? učebnice: majme plyn v kocke / Landau-Lifšic: WKB v 1D s ľub. U bunka 2π ; ľub. D: predstava o bunke sa dá použiť vďaka jej vyššie spomenutému súvisu s počtom vlastných kmitov vlnového poľa ALE tie sa uvažujú zasa len v kocke čo by sme chceli: dôkaz, že ak sú stavy vysokoexcitované, ɛ 2 mv 2/3, kocka stačí čo platí v nej, platí v ľubovoľnej nádobe s čim sa uspokojíme: nemusíme mať rozdelenie stavov vo FÁZO- VOM PRIESTORE, stačí v ENERGII
12 počítanie stavov naozaj kocka stačí? lokálne veličiny ako µ (pri degenerovanom plyne aj u, P atď.) by mali byť naozaj lokálne; ALE prečo by mali byť lokálne počty stavov?
13 počítanie stavov naozaj kocka stačí? lokálne veličiny ako µ (pri degenerovanom plyne aj u, P atď.) by mali byť naozaj lokálne; ALE prečo by mali byť lokálne počty stavov? 1910 Lorentz má prednášku v Göttingene, kde hovorí o charakteristických frekvenciách EM poľa v dutine, že ich rozdelenie by asymptoticky nemalo závisieť od tvaru dutiny; Hilbert si myslí, že sa to nepodarí dokázať za jeho života 1912 Weyl to dokazuje 1912 Sackur a Tetrode zostrojujú vzorec pre entropiu; veľkosť bunky určuje Sackur úvahou, v ktorej vystupuje čas pozorovania a krok v energii, a Tetrode z tlaku pár ortuti vzniká QM a veta o módoch EM poľa v dutine sa prenáša na stavy častíc plynu v nádobe
14 kocka a guľa formulácia úlohy KONEČNE! majme oblasť Ω s objemom V a rovnicu pre vlastné funkcie ( stavy ) s nulovými okrajovými podmienkami v tejto oblasti, ( + λ)φ = 0, φ Ω = 0;
15 kocka a guľa formulácia úlohy KONEČNE! majme oblasť Ω s objemom V a rovnicu pre vlastné funkcie ( stavy ) s nulovými okrajovými podmienkami v tejto oblasti, chceme dokázať, že ( + λ)φ = 0, φ Ω = 0; lim N(λ) = N (λ), λ kde N(λ) je počet stavov s vlastnými hodnotami < λ a N (λ) je limitné N(λ) zrátané pre kocku s objemom V, N (λ) = V 6π 2 λ3/2
16 kocka a guľa výpočet pre kocku stavy = súčiny trojíc sínusov s vlnovými dĺžkami a, 1 2 a, 1 3 a,... vrcholy mriežky s hranou π/a v 1. oktante k-priestoru N = objem 1 8 sféry s polomerom λ objem kocky s hranou π/a = 1 8 4π 3 λ3/2 (π/a) 3 = a3 6π 2 λ3/2
17 kocka a guľa výpočet pre kocku stavy = súčiny trojíc sínusov s vlnovými dĺžkami a, 1 2 a, 1 3 a,... vrcholy mriežky s hranou π/a v 1. oktante k-priestoru N = objem 1 8 sféry s polomerom λ objem kocky s hranou π/a = 1 8 4π 3 λ3/2 (π/a) 3 = a3 6π 2 λ3/2 výpočet pre guľu stavy φ klm = j l (kr)y lm (n), k λ je dané podmienkou j l (kr) = = 0; POZOR: nedá sa použiť j l 1 ( x sin x πl ) (dáva -ný!); 2 treba tangensovú aproximáciu, viď Gradštejn-Ryžik 8.453: 1 [ j l l+ x tgβ cos l + ( tgβ β) π ], x = l + 4 cos β
18 ako sa to spraví kockovanie rozdeľme našu oblasť priehradkami na ν kociek C 1, C 2,..., C ν plus fúgy na okrajoch; koľko bude vo vykockovanej oblasti stavov s vlastnými hodnotami < λ? toľko čo SPOLU V KOCKÁCH, N(Ω, λ) = N(C α, λ) = νn(c, λ) D: každý stav φ C na C zadáva ν stavov na Ω takých, že φ = φ C v jednej kocke a φ = 0 vo všetkých ostatných kockách
19 ako sa to spraví kockovanie rozdeľme našu oblasť priehradkami na ν kociek C 1, C 2,..., C ν plus fúgy na okrajoch; koľko bude vo vykockovanej oblasti stavov s vlastnými hodnotami < λ? toľko čo SPOLU V KOCKÁCH, N(Ω, λ) = N(C α, λ) = νn(c, λ) D: každý stav φ C na C zadáva ν stavov na Ω takých, že φ = φ C v jednej kocke a φ = 0 vo všetkých ostatných kockách načo nám to je? znamená to, že N na Ω je v limite približne, modulo fúgy, N na Ω (stavy sú iné, ale je ich rovnako veľa!)
20 ako sa to spraví kockovanie rozdeľme našu oblasť priehradkami na ν kociek C 1, C 2,..., C ν plus fúgy na okrajoch; koľko bude vo vykockovanej oblasti stavov s vlastnými hodnotami < λ? toľko čo SPOLU V KOCKÁCH, N(Ω, λ) = N(C α, λ) = νn(c, λ) D: každý stav φ C na C zadáva ν stavov na Ω takých, že φ = φ C v jednej kocke a φ = 0 vo všetkých ostatných kockách načo nám to je? znamená to, že N na Ω je v limite približne, modulo fúgy, N na Ω (stavy sú iné, ale je ich rovnako veľa!) minimaxový princíp HLAVNÁ FINTA len z toho, že v kockách je menej prípustných stavov než v súvislej oblasti, vieme dokázať, že λ sú tam vyššie alebo nanajvýš rovnaké
21 ako sa to spraví Veta: majme samozdružený operátor A na H s vlastnými hodnotami µ i usporiadanými podľa veľkosti, a nech Σ n 1 je ľubovoľný n 1-rozmerný podpriestor H; potom existuje u Σ n 1 také, že (u, Au) µ n (ak Σ n 1 = S n 1 priestor natiahnutý na prvých n 1 vlastných vektorov, potom jediné u-čka sú vlastné vektory s vlastnou hodnotou µ n, pre ktoré platí (u, Au) = µ n µ n je MAXIMUM MINÍM; viď variačný princíp v QM)
22 ako sa to spraví Veta: majme samozdružený operátor A na H s vlastnými hodnotami µ i usporiadanými podľa veľkosti, a nech Σ n 1 je ľubovoľný n 1-rozmerný podpriestor H; potom existuje u Σ n 1 také, že (u, Au) µ n (ak Σ n 1 = S n 1 priestor natiahnutý na prvých n 1 vlastných vektorov, potom jediné u-čka sú vlastné vektory s vlastnou hodnotou µ n, pre ktoré platí (u, Au) = µ n µ n je MAXIMUM MINÍM; viď variačný princíp v QM) načo je nám toto? počítajme: λ n = min (u, u) min (u, u) λ n u S n 1 u S n 1 dostali sme odhad N ZDOLA, N(λ) N (λ)
23 ako sa to spraví Veta: majme samozdružený operátor A na H s vlastnými hodnotami µ i usporiadanými podľa veľkosti, a nech Σ n 1 je ľubovoľný n 1-rozmerný podpriestor H; potom existuje u Σ n 1 také, že (u, Au) µ n (ak Σ n 1 = S n 1 priestor natiahnutý na prvých n 1 vlastných vektorov, potom jediné u-čka sú vlastné vektory s vlastnou hodnotou µ n, pre ktoré platí (u, Au) = µ n µ n je MAXIMUM MINÍM; viď variačný princíp v QM) načo je nám toto? počítajme: λ n = min (u, u) min (u, u) λ n u S n 1 u S n 1 dostali sme odhad N ZDOLA, N(λ) N (λ) Neumannove kocky DIRICHLETOVE KOCKY (s nulovou funkciou na stenách) dávajú odhad N zdola NEUMANNOVE KOCKY (s nulovou normálovou deriváciou funkcie na stenách) by mali dávať odhad N zhora
24 ako sa to spraví postup, krok 1: zavedieme vonkajšie kockovanie, čím dostaneme druhú vykockovanú oblasť Ω ; krok 2: všimneme si, že v Neumannových kockách je viac prípustných stavov než v súvislej oblasti, čo nám dá odhad N zdola; krok 3: urobíme v oboch odhadoch limitu nekonečného zjemňovania delenia na elementárne kocky A. M. D. G.
PowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšiePocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD
Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieVypracované úlohy z Panorámy z fyziky II Autor: Martin Brakl UČO: Dátum:
Vypracované úlohy z Panorámy z fyziky II Autor: Martin Brakl UČO: 410 316 Dátum: 15.6.2013 Príklad 1 a) Aká je vzdialenosť medzi najbližšími susedmi v diamantovej mriežke uhlíka (C), kremíka (Si), germánia
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieModel tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 2008 Typeset by FoilTEX
Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. TBH: definícia: elektrónový, elektromagnetický 2. Disperzné vzt ahy 3. Spektrum, okrajové podmienky 4. TBH vs.
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieOceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
PodrobnejšieVybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos
Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieTelesá Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c
Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Vypočítajte uhol α medzi podstavovou a telesovou
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_2kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 17. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práva jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
PodrobnejšiePL_2_2_vplyv_objemu
Pokus 1 (Lapitková, et al., 2010, s. 78) Cieľ pokusu Preskúmať, ako vplýva objem a tvar telesa na hĺbku ponoru. Úloha č.1 Porovnaj hĺbku ponorenia dvoch škatúľ s rôznymi objemami, ak ich rovnako zaťažíš
Podrobnejšie1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ
Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania.
PodrobnejšieBariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX
Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer
PodrobnejšieOhyb svetla
Difrakcia (OHYB SVETLA NA PREKÁŽKACH ) Odpoveď: Nepíš a rozmýšľaj Svetlo aj zvuk sú vlnenie, ale napriek tomu sú medzi nimi orovské rozdiely. Počujeme aj to, čo sa deje za rohom Čo sa deje za rohom nevidíme.
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieBodová častica vo VTR Vladimír Balek Pole bodového náboja. Majme časticu s nábojom q, ktorá sa nachádza v počiatku súradníc. Elektrická intenzita E v
Bodová častica vo VTR Vladimír Balek Pole bodového náboja. Majme časticu s nábojom q, ktorá sa nachádza v počiatku súradníc. Elektrická intenzita E v priestore okolo častice je daná Gaussovým zákonom E
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieFYZIKA I Rámcove otázky 1998
Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieMicrosoft Word - mpicv11.doc
1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a
PodrobnejšieDiracova rovnica
3. Štruktúra hadrónov 6. 3. 005 Rozptyl e e dáva: Pre kvadrát modulu amplitúdy fi platí: 8 e θ θ cos sin fi EE (1) Pre jeho účinný prierez dostávame: ( αe ) dσ θ θ cos sin δ ν + de dω kde αe /π, νe E.
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšiePokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály
Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieKlasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 2008 Typeset by FoilTEX
Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod cez bariéru/vrstvu: rezonančná transmisia 2. Tunelovanie 3. Rezonančné tunelovanie 4.
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieMicrosoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník
P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieTechnická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013
Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka
PodrobnejšieNáuka o teple
Náuka o tele Stavová rovnica ideálneho lynu. Určité množstvo vodíka uzavreté v nádobe, ktorá má konštantný objem, má v toiacom sa ľade tlak Pa. Keď nádobu onoríme do teelného kúeľa, vzrastie tlak vodíka
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšieL avoruké materiály Peter Markoš, FÚ SAV 25 február 2004 Abstract Porozprávam o niektorých EM vlastnostiach l avorukých materiálov: elektrodynamika s
L avoruké materiály Peter Markoš, FÚ SAV 25 február 2004 Abstract Porozprávam o niektorých EM vlastnostiach l avorukých materiálov: elektrodynamika s ε < 0 a µ < 0, l avoruké štruktúry, numerické simulácie,
PodrobnejšieMicrosoft Word - veronika.DOC
Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieMOPM -prednáška 9.
Prednáška 09/12 doc. Ing. Rastislav RÓKA, PhD. Ústav telekomunikácií FEI STU Bratislava Klasifikácia telekomunikačných vedení prenosové cesty drôtové a rádiové 1. Efektívne využívanie existujúcich vedení
Podrobnejšie60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2018/2019 kategória E okresné kolo Riešenie úloh 1. Zohrievanie vody, výhrevnosť paliva a) Fosílne pal
60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 018/019 kategória E okresné kolo Riešenie úloh 1. Zohrievanie vody, výhrevnosť paliva a) Fosílne palivá: uhlie, nafta, olej, zemný plyn. Propán-bután, lieh,
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieRozvojom spoločnosti najmä v druhej polovici minulého storočia dochádza čím ďalej tým viac k zásahu človeka do životného prostredia
3 Prenos hmoty a energie 3.1 Stacionárny prípad 1. Prúd vody v rieke s prietokom Qs 10m 3 /s má koncentráciu chloridov cs 20mg/l. Prítok rieky s prietokom Qw 5m 3 /s má koncentráciu chloridov cw 40mg/l.
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieSK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,
SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.
PodrobnejšieUrčenie hustoty látok Určiť hustotu je trochu pracné. Nemá zmysel, aby ju ľudia určovali stále, keď hustotu potrebujú. Preto je už hustota jednotlivýc
Určenie hustoty látok Určiť hustotu je trochu pracné. Nemá zmysel, aby ju ľudia určovali stále, keď hustotu potrebujú. Preto je už hustota jednotlivých látok zmeraná a uvedená v tabuľkách hustoty. Tabuľky
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dvoch hráčov, ktorá má nasledujúce pravidlá: 1. Prvý
PodrobnejšieTEORETICKÉ ÚLOHY
TEORETICKÉ ÚLOHY Chemická olympiáda kategória D 50. ročník šk. rok 2013/14 Krajské kolo Odpoveďový hárok Štartové číslo:... Spolu bodov:... Úloha 1 (12 b) Zo zátvorky vyberte správne tvrdenia (podčiarknite
PodrobnejšieTeplárenstvo ako ďalej? , , Piešťany Ochrana ovzdušia centrálne alebo lokálne? Dr. Ing. Jozef Šoltés, CSc. Národná ene
Teplárenstvo ako ďalej? 2. - 3. 2. 212, 2. - 21. 2. 212, Piešťany Ochrana ovzdušia centrálne alebo lokálne? Dr. Ing. Jozef Šoltés, CSc. Národná energetická spoločnosť a. s. 1 Členenie zdrojov znečisťovania
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
PodrobnejšieBiharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu
iºe o spôsobí pridanie jedného laplasiánu tyc struna Obsah ƒo je to biharmonická rovnica 2 Malý výlet do teórie pruºnosti 3 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia 4... a kde ostala matematická fyzika? ƒo
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
Podrobnejšie36. Fázová analýza pomocou Mössbauerovej spektroskopie
36. Fázová analýza pomocou Mössbauerovej spektroskopie 1. Všeobecná časť Na fázovú analýzu sa častejšie používa röntgenová analýza s využitím Debyeových Schererových metód, a spektrálnej analýzy čiar L
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode]
Výboje v plynoch, V-A charakteristika Oblasť I. : U => I pri väčšej intenzite poľa (E) je pohyb nosičov náboja k elektródam rýchlejší a tak medzi ich vznikom a neutralizáciou na elektródach uplynie kratší
PodrobnejšieZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 2006 Vyhlásené: Časová verzia predpisu účinná od: do: Obsah tohto dokumen
ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 2006 Vyhlásené: 31.05.2006 Časová verzia predpisu účinná od: 01.06.2006 do: 31.08.2007 Obsah tohto dokumentu má informatívny charakter. 325 N A R I A D E N I
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieSeriál XXXII.II Mechanika, FYKOS
Seriál: Mechanika Úvod Na úvod vás vítam pri čítaní druhej časti seriálu u. Začiatkom druhej série sa ešte raz vrátime k značeniu, kde si rýchlo ukážeme ako fungujú indexy, ktoré nám umožnia písať jednu
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PodrobnejšieFarba skupiny: červená Označenie úlohy:,zohrievanie vody elektrickým varičom (A) bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na
Farba skupiny: červená Označenie úlohy:,zohrievanie vody elektrickým varičom (A) bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na elektrickom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza:
PodrobnejšiePríklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5
Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5. Neriešené príklady 1 Príklady 1 - vektory 1. Súradné
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieJadrova fyzika - Bc.
Základné vlastnosti jadier 1-FYZ-601 Jadrová fyzika ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI ATÓMOVÉHO JADRA 3. 10. 2018 Zhrnutie a základné poznatky 2/10 Praktické jednotky v jadrovej fyzike Je praktické využiť pre jednotky
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšiePodivný mikrosvet Mikuláš Gintner Katedra fyziky Žilinská univerzita 2013 Masterclasses in Physics 2013 M. Gintner
Podivný mikrosvet Mikuláš Gintner Katedra fyziky Žilinská univerzita 2013 4.júl 2012 oznam oznamobjavu objavunovej novejčastice častice možno možno dlhohľadaný dlhohľadanýkandidát kandidátna na HIGGSov
PodrobnejšieViacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšieAPROXIMÁCIA BINOMICKÉHO ROZDELENIA NORMÁLNYM A PRÍKLAD JEJ APLIKÁCIE V AKTUÁRSTVE S VYUŽITÍM JAZYKA R Abstrakt Príspevok sa zameriava na prezentáciu l
APROXIMÁCIA BINOMICKÉHO ROZDELENIA NORMÁLNYM A PRÍKLAD JEJ APLIKÁCIE V AKTUÁRSTVE S VYUŽITÍM JAZYKA R Abstrakt Príspevok sa zamerava na prezentácu lmtných vet v analýze rzka v nežvotnom postení. Jednoducho
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
Podrobnejšietrafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieTabuľky_teoria
Tabuľky v programe Microsoft Word Vytvorenie tabuľky Pred samotným vyhotovením tabuľky sa odporúča pripraviť si náčrt, na ktorom sa rozvrhne rozdelenie údajov do riadkov a stĺpcov. Tabuľku vytvoríme pomocou
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
PodrobnejšieMicrosoft Word - Autoelektronika - EAT IV.r. -Osvetľovacie zariadenia -Základné pojmy.doc
ELEKTROPRÍSLUŠENSTVO AUTOMOBILOVEJ TECHNIKY 4.ročník Učebné listy 1.OSVETĽOVACIE ZARIADENIA ZÁKLADNÉ POJMY 1.1.Základné fyzikálne vzťahy a veličiny SVETLO SVETELNÝ TOK SVIETIVOSŤ ZDROJA OSVETLENIE MERNÝ
PodrobnejšieKedy sa predné koleso motorky zdvihne?
Kedy sa predné koleso motorky zdvihne? Samuel Kováčik Commenius University samuel.kovacik@gmail.com 4. septembra 2013 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 1 / 23 Bojový plán Čo budeme chcieť
Podrobnejšie