9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
|
|
- Vlasta Černá
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych a a... a b Zavedením matíc n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m m m mn n m (9.) a a... a n b a a... an b,, b (9.) a a... a b prepíšeme systém (9.) do kompaktného maticového tvaru b (9.) kde sa nazýva matica koeficientov, sa nazýva vektor neznámych a b sa nazýva vektor konštantných členov. Riešenie systému (9.) môže byť reprezentované stĺpcovým vektorom c c... c n ktorý keď dosadíme do (9.), = c, dostaneme maticovú identitu c (9.4) c b. y a +a y = b y a +a y +a z= b B Obrázok 9.. Geometrická interpretácia rovnice zo systému lineárnych rovníc pre () n =, rovnica je interpretovaná priamkou, (B) n =, rovnica je interpretovaná rovinou. z 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
2 Geometrická interpretácia rovníc zo systému (9.) je znázornená na obr. 9.. Riešenie systému je potom určené prienikom týchto geometrických útvarov priradených jednotlivým rovniciam z (9.). Označme nadrovinu priradenú i-tej lineárnej rovnici z (9.) symbolom i, potom riešenie je zadané ich prienikom X... m (9.5) Z geometrického pohľadu vyplýva, že prienik (9.5) buď obsahuje (i) len jeden element, (ii) má nekonečne mnoho elementov, alebo (iii) je prázdny. V prípade, že množina je prázdna, potom systém nemá riešenie (môžeme povedať, že systém (9.) je kontradiktórny). V prípade (i) systém má práve jedno riešenie, ktoré je jednoznačne určené systémom rovníc (porovnaj príklad 9.). V druhom prípade (ii) eistuje nekonečne mnoho riešení, ktoré tvoria podrovinu. Táto kvalitatívna diskusia riešení systému lineárnych rovníc bude precizovaná v ďalšej časti tejto kapitoly. Jeden z hlavných cieľov teórie systémov lineárnych rovníc je rozhodnúť za ktorých podmienok majú alebo nemajú riešenie a v prípade, že ho majú, tak ako ho zostrojiť. Za predpokladu, že matica koeficientov je regulárna, riešenie systému lineárnych rovníc má tento eplicitný tvar b (9.5) Príklad 9.. Nájdite inverznú maticu k matici 4 4 Zavedieme matice 4,, b 4 Pomocou týchto matíc prepíšeme tento systém do maticového tvaru (9.). V príklade 8.8 bola zostrojená inverzná matica vzhľadom k 4 Použitím (9.5) zostrojíme riešenie systému v tvare b 4 4 Budeme študovať tri elementárne príklady, ktoré sú inštruktívne pre pochopenie geometrickej interpretácie lineárnych rovníc a s ním úzko súvisiaci problém počtu riešení: () Systém lineárnych rovníc má práve jedno riešenie, diagram. () Systém lineárnych rovníc 0 T, geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., má nekonečne mnoho riešení, ktoré môžeme vyjadriť napr. vektorom geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., diagram B. () Systém lineárnych rovníc t, t, t R, T 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
3 nemá riešenie, rovnice sú vo vzájomnom spore, geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., diagram C. + = y - =0 + = -- =- y + = y = B C Obrázok 9.. Geometrické znázornenie troch rôznych systémov lineárnych rovníc pre n =. Diagram znázorňuje prípad, v ktorom sú priamky nerovnobežné, ich prienik jednoznačne určuje práve jedno riešenie systému. Diagram B znázorňuje situáciu, keď obe priamky sú totožné, ich prienik je reprezentovaný priamkou, eistuje nekonečne mnoho riešení, ktoré ležia na priamke. Diagram C znázorňuje situáciu, keď priamky sú rôzne ale rovnobežné, čiže ich prienik je prázdny, neeistuje žiadne riešenie. Definujme rozšírenú maticu (koeficientov) ' tak, že matica koeficientov je rozšírená o stĺpcový vektor konštantných členov a a... a n b a a... an b, b am a m... amn b m Pomocou hodností matice koeficientov a rozšírenej matice môžeme stanoviť, kedy systém lineárnych rovníc má alebo nemá riešenie. Veta 9. (Frobeniova veta ). Systém lineárnych rovníc b má riešenie vtedy a len vtedy, ak h h (9.6) Pričom, podrobnejšou analýzou tejto podmienky zistíme, že h h, potom systém nemá riešenie, () ak () ak () ak h h n, potom systém má práve jedno riešenie, h h n, potom systém má nekonečne mnoho riešení. Táto veta patrí medzi fundamentálny teoretický výsledok teórie lineárnych rovníc, špecifikuje nutné a postačujúce podmienky pre eistenciu riešenia. Jej dôkaz je pomerne zdĺhavý a vyžaduje ďalšie pojmy z lineárnej algebry, preto ho nebudeme uvádzať. Séria troch nasledujúcich príkladov ilustruje jednotlivé prípady z Frobeniovej vety. Výsledky týchto Ferdinand Georg Frobenius (849-97) bol nemecký matematik, jeden zo zakladateľov teórie grúp. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
4 príkladov je potrebné porovnať s tetom za príkladom 9., kde sú uvádzané aj riešenia diskutovaných systémov lineárnych rovníc. Príklad 9.. Systém lineárnych rovníc 0 Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, 0 Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém má práve jedno riešenie,, Príklad 9.. Systém lineárnych rovníc T. Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém má nekonečne mnoho riešení, t, t, t R. T Príklad 9.4. Systém lineárnych rovníc Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém nemá riešenie. Frobeniova veta nám len zabezpečuje či systém b má alebo nemá riešenie, ale v prípade, že eistuje, neumožňuje nám toto riešenie nájsť. Jej aplikácia vyžaduje stanovenie hodností tak matice koeficientov, ako aj rozšírenej matice, tento problém môže byť uskutočnený súčasne tak, že stanovíme hodnosť rozšírenej matice, pričom nebudeme používať elementárne operácie transpozície stĺpcových vektorov (menovite stĺpcového vektora konštantných členov b so stĺpcovými vektormi matice koeficientov, a taktiež, aj stĺpcových vektorov z matice samotne). Týmto sa vyhneme zbytočným problémom s korektnou interpretáciou získaného riešenia (napr. označenie neznámych môže byť vzájomne poprehadzované). Naviac, upravená rozšírená matica v trojuholníkovom tvare je 9. kapitola str. 4 (.. 05 o 6:07)
5 vhodná na konštrukciu riešenia pomocou metódy spätných substitúcií. Tento prístup tvorí obsah Gaussovej eliminačnej metódy (GEM), ktorá tvorí jeden z najefektívnejších algoritmov pre riešenie systému lineárnych rovníc. Gaussova eliminačná metóda riešenia systému lineárnych rovníc Nad rozšírenou maticou ' sa vykonáva postupnosť nasledujúcich elementárnych operácií nad jej riadkami: () transpozícia dvoch riadkov, () vynásobenie riadku nenulovým číslom a () pripočítanie násobku vybraného riadku k inému riadku. Cieľom týchto úprav je pretransformovať rozšírenú maticu na trojuholníkový tvar. Riešenie získame z takto upravenej rozšírenej matice metódou spätných substitúcií. Príklad 9.5. Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém 0 Rozšírená matica má tvar 0. krok. Vykonáme vynulovanie prvkov pod diagonálou v prvom stĺpci krok. Vykonáme vynulovanie prvku pod diagonálou v druhom stĺpci K tretiemu riadku pripočítame druhý riadok Karl Friedrich Gauss ( ), nemecký matematik, ktorý je pokladaný za jedného z najväčších matematikov v našej histórii. Už ako žiak elementárnej školy (v dnešnej terminológii je to.-4. ročník základnej... n n n. Týmto výsledkom školy) objavil formulu pre súčet prvých n prirodzených čísel, fascinoval svojho učiteľa, ktorý, aby mal kľud od žiakov, často im dával úlohy typu spočítať napr. prvých 00 prirodzených čísel. 9. kapitola str. 5 (.. 05 o 6:07)
6 Posledná matica znamená, že pôvodný systém rovníc bol pretransformovaný do tvaru Z poslednej rovnice dostaneme =5, dosadením tohto výsledku do predposlednej rovnice dostaneme =, dosadením týchto výsledkov do prvej rovnice dostaneme =. Príklad 9.6. Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém 5 5 Rozšírená matica má tvar krok, nulujeme prvky v. stĺpci pod diagonálou (i) Vynásobíme. a. riadok rozšírenej matice číslom (ii) K druhému a tretiemu riadku pripočítame prvý riadok (iii) Posledné tri riadky sú lineárne závislé, tak napr.. a. riadok získame vynásobením 4. riadku číslom resp., môžeme teda vynechať. a. riadok. Procedúra stanovenia hodnosti rozšírenej matice končí, získali sme trojuholníkovú maticu. Rozšírenú maticu môžeme prepísať do tvaru systému lineárnych rovníc Máme dve rovnice pre štyri neznáme, t. j. dve neznáme môžu byť charakterizované ako volné parametre, u, 4 v, potom upravený systém prepíšeme do formálneho tvaru dvoch lineárnych rovníc pre dve neznáme 55u v u v Dosadením druhej rovnice do prvej dostaneme konečné riešenie pre neznámu 5 5 u v u v 4 u v Stĺpcový vektor riešenia má tvar 9. kapitola str. 6 (.. 05 o 6:07)
7 4 uv 4 uv u v a ub vc u 0 0 v 0 0 a b c Môžeme teda uzavrieť, že systém má nekonečne mnoho riešení, ktoré tvoria množinu X a ub v c;u,vr k napríklad položíme u = v =, potom vektor riešení má tvar a b c Dosadením týchto hodnôt neznámych do riešeného systému lineárnych rovníc získame identity, t. j. riešenie je korektné. Homogénny systém lineárnych rovníc k stĺpcový vektor konštantných členov je nulový, potom systém (9.) sa nazýva homogénny 0 (9.7) Homogénny systém má vždy tzv. triviálne riešenie, 0, systém (9.7) potom je automaticky splnený. Môžeme si položiť otázku, kedy eistuje netriviálne riešenie (keď aspoň jedna neznáma je nenulová). Tento problém je taktiež riešený Frobeniovou vetou 9.. Veta 9.. Homogénny systém lineárnych rovníc má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak hodnosť matice koeficientov je menšia ako počet neznámych h n (9.8) Jednoduchý dôsledok tejto vety je, že ak hodnosť matice sa rovná počtu neznámych, h n, potom homogénny systém má len triviálne nulové riešenie. Príklad 9.7. Hľadajme riešenie homogénneho systému rovníc Budeme hľadať hodnosť matice koeficientov tohto systému (pozri príklad 9.6) kapitola str. 7 (.. 05 o 6:07)
8 To znamená, že h() = < 4, t. j. systém má nekonečne mnoho netriviálnych riešení. Pomocou trojuholníkovej matice, ktorá je ekvivalentná s pôvodnou maticou koeficientov, zostrojíme ekvivalentný homogénny systém lineárnych rovníc Tento systém obsahuje rovnice pre 4 neznáme, potom, napríklad a 4 môžu byť zvolené ako volné parametre, u a 4 v, pre u,vr. Z poslednej rovnice ekvivalentného systému dostaneme u v, ak tento výsledok dosadíme do prvej rovnice získame u v. Vektor neznámych má tvar uv uv u v ua vb u 0 v 0 k položíme uv 0, potom dostávame triviálne riešenie (nulový vektor), ak položíme, napríklad u v, dostaneme netriviálne riešenie 5 a b 0 0 Množinu riešení potom môžeme vyjadriť takto X ua v b;u,vr Príklad 9.8. Nájdite riešenie homogénneho systému 0 a b a 0 0 Stanovíme hodnosť matice koeficientov (pozri príklad 9.5) Hodnosť matice koeficientov h() =, čo je aj počet neznámych, t. j. homogénny systém má len triviálne riešenie. O tejto skutočnosti sa ľahko presvedčíme, keď pomocou trojuholníkovej matice zostrojíme ekvivalentný homogénny systém 0 Z poslednej rovnice dostaneme, že b 0, dosadením tohto výsledku do druhej rovnice dostaneme 0, ak oba tieto výsledky dosadíme do prvej rovnice dostaneme 0. Týmto sme ukázali na konkrétnom príklade, že ak hodnosť matice koeficientov sa rovná počtu neznámych, h() = n, homogénny systém má len triviálne riešenie. Tieto úvahy môžeme zosumarizovať do nasledujúcej vety. 9. kapitola str. 8 (.. 05 o 6:07)
9 Veta 9.. Homogénny systém lineárnych rovníc má buď len jedno triviálne riešenie, vtedy h n, alebo má mnoho netriviálnych riešení vtedy a len vtedy, ak a len vtedy, ak h n. 9. Determinanty Nech je množina všetkých možných matíc. Hodnosť matice môžeme formálne chápať ako zobrazenie množiny matíc na množinu kladných celých čísel h:,,... nalogicky, pod pojmom determinant budeme rozumieť zobrazenie množiny štvorcových matíc na množinu reálnych čísel, det : R (9.9), Determinant matice, budeme označovať symbolom, je to reálne číslo z priradené štvorcovej matici. Prv než pristúpime k definícii determinantu uvedieme základné skutočnosti o permutáciách. Permutáciu P priradenú n objektom budeme vyjadrovať symbolom P p, p,..., p n kde elementy p, p,..., p n sú prirodzené čísla z množiny,,...,n, ktoré vyhovujú podmienke i j p p ko ilustračný príklad tohto pojmu uvedieme permutáciu štyroch objektov P, 4,, Permutáciu interpretujeme, ako --značné zobrazenie množiny obsahujúcej prvých n kladných celých čísel na seba, grafická ilustrácia permutrácie je znázornená na obr. 9.. i j 4 4 Obrázok 9.. Znázornenie permutácie 4 objektov ako jedno-jednoznačné zobrazenie objektov na seba. Celkový počet permutácií n objektov je n!, tieto permutácie tvoria symetrickú grupu (množinu) permutácií S n. Ku každej permutácii môžeme priradiť nezáporné celé číslo, ktoré sa nazýva počet inverzií: hovoríme, že prvky p i a p j tvoria inverziu v permutácii P=(p,...,p i,...,p j,...,p n ), vtedy a len vtedy, ak platí i j p p Celkový počet inverzií v permutácii P je označený I(P). Príklad 9.9. Zostrojte všetky permutácie pre n = a n =, charakterizujte každú permutáciu počtom inverzií. Permutácie pre n= majú tvar i j 9. kapitola str. 9 (.. 05 o 6:07)
10 P,, I P 0 P,, I P Permutácie pre n= majú tvar P,,, I P 0 P,,, I P P,,, I P P,,, I P, P,,, I P, P,,, I P,, Definícia 9.. Nech ij je štvorcová matica typu (n,n), determinant tejto matice je PSn I P... (9.0) p p npn kde sumácia obsahuje všetky možné permutácie z S n. lternatívne označenie determinantu je det() alebo D(). Príklad 9.0. Determinant matice je podľa definície určený takto PS I P p p I, I, Diagramatická interpretácia výpočtu determinantu matice typu (9.) Príklad 9.. Determinant matice je podľa definície určený v tvare, ktorý môžeme jednoducho vyjadriť pomocou diagramatickej interpretácie (Sarrusove pravidlo) (9.) 9. kapitola str. 0 (.. 05 o 6:07)
11 Základné vlastnosti determinantov () Nech je štvorcová matica, potom T (9.) Dôsledok tejto vlastnosti je, že ľubovolná vlastnosť, ktorá platí pre riadky determinantu musí platiť aj pre jeho stĺpce (a naopak). () Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z výmenou dvoch stĺpcov (riadkov) s,..., s,..., s,..., s B s,..., s,..., s,..., s potom i j n j i n Nech matica obsahuje dva rovnaké stĺpce v polohe i a j s,..., s,... s, s, s..., s B (9.4a) i j i j, n Potom jednoduchým dôsledkom vlastnosti (9.4a) je, že determinant tejto matice je nulový 0 (9.4b) () Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z tak, že jeden stĺpec (riadok) vynásobíme číslom s,..., s,..., s B s,..., s,..., s potom i n j n B (9.5) Dôsledok tejto vlastnosti je, že ak matica obsahuje nulový stĺpec (riadok), potom determinant matice je nulový. (4) Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z tak, že násobok vybraného stĺpca (riadka) pripočítame k inému stĺpcu (riadku) s,..., s,..., s,..., s B s,..., s s,..., s,..., s potom i j n i j j n B (9.6) (5) Nech je štvorcová matica a nech pre jej vybraný stĺpec platí si s i s i s,..., s s,..., s potom i i n (9.7) kde matica ' ('') vznikne z pôvodnej matice tak, že i-tý stĺpec s i je nahradený stĺpcovým vektorom s ( i i s ) s,..., s,..., s, s,..., s,..., s i n i n Veta 9.4. Nech je štvorcová matica typu nn. =0 vtedy a len vtedy, ak h()<n. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
12 Dôsledkom tejto vety je, že štvorcová matica má nenulový determinant vtedy a len vtedy, ak jej hodnosť sa rovná počtu riadkov 0 h n 0 a sú lineárne nezávislé.. Tieto vektory môžeme formálne chápať ako riadkové vektory matice typu Príklad 9.. Dokážte, že vektory a, a a 0 Na základe dôsledku prechádzajúcej vety vieme, že ak sa nám podarí dokázať, že determinant tejto matice je nenulový, potom h()=, t.j. jej riadkové vektory sú lineárne nezávislé. Determinant matice spočítame Sarrusovým pravidlom Príklad 9.. Dôsledok vety 9.4 o tom, že tri riadkové (stĺpcové) vektory a, b a c rovnakého typu (,) sú lineárne závislé vtedy a len vtedy ak z nich zostrojený determinant matice a b c je nulový, 0, bude použitý na určenie roviny v -rozmernom priestore, ktorá je určená bodmi, B a C, ktoré sú reprezentované riadkovými vektormi (pozri obr. 9.4) a a a b b b c c c c a, b a Všeobecný bod X, reprezentovaný vektorom, leží v rovine, potom vektor X a môže byť vyjadrený ako lineárna kombinácia vektorov C ca a B ba, t.j. tieto tri vektory sú lineárne závislé a a a a c a c a c a c a 0 b a b a b a b a vypočítaním tohto determinantu pomocou Sarrusovho pravidla, dostaneme lineárnu rovnicu vzhľadom k premenným, a a + b + c + d = 0 kde a, b, c a d sú koeficienty rovnice popisujúcej rovinu. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
13 X= (,,) C= ( c,c,c) = ( a,a,a) B= ( b,b,b) Obrázok 9.4. Rovina je určená bodmi, B a C, ktoré neležia na priamke. Všeobecný bod X leží v rovine, to znamená, že trojica riadkových vektorov (c-a), (b-a) a (-a) leží v rovine a preto musia byť lineárne závislé. Veta 9.5. Nech je štvorcová trojuholníková matica (nepožaduje sa, aby každý diagonálny element bol nenulový)... n 0... n nn Determinant matice sa rovná súčinu jej diagonálnych elementov... (9.8) nn Dôkaz tejto vety vychádza z diskusie formuly (9.0), ktorá špecifikuje determinant pre P p, p,..., p má aspoň ľubovolnú štvorcovú maticu. Každá neidentická permutácia n jeden element p i, pre ktorý platí p i <i. Z vlastnosti trojuholníkovej matice vyplýva vlastnosť 0 P,,...,n, ktorá. Potom v rozvoji (9.0) je aktívna len permutácia identity i,p i poskytuje práve súčin diagonálnych elementov z (9.8). ko jednoduchý dôsledok tejto vety je, že determinant jednotkovej matice E sa rovná jednej E (9.9) Veta 9.5 umožňuje zostrojiť efektívny algoritmus pre výpočet determinantov ľubovolnej dimenzii n (pripomeňme, že sme odvodili v príkladoch 9.0 a 9. špeciálne formule pre výpočet determinantov, keď n = a n =. Žiaľ, tieto formule nie sú zovšeobecniteľné pre n >, takže je dôležité mať k dispozícii algoritmus pre výpočet determinantu pre ľubovolné n. Použijeme jednoduchý algoritmus, ktorý je veľmi podobný algoritmu stanovenia hodnosti matice a ktorý je založený na vlastnostiach determinantov (9.-7). To znamená, že nad stĺpcami a riadkami budeme vykonávať jednoduché elementárne operácie tak, aby sme dostali trojuholníkovú maticu (t. j. nulujeme elementy pod diagonálou). Na rozdiel od stanovenia hodnosti matice, pri tomto výpočte determinantu jeho hodnota sa môže meniť, tak napríklad po transpozícii dvoch stĺpcov (riadkov) dochádza k zmene znamienka determinantu, alebo ak riadok vynásobíme číslom, tak potom pred determinat musíme vytknúť číslo. To znamená, že súčasťou algoritmu musí byť aj premenná v ktorej sa kumuluje táto zmena numerickej hodnoty determinatu v priebehu aplikácií elementárnych operácií. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
14 Príklad 9.. Vypočítajte determinant matice s n = Postup transformácie determinantu na trojuholníkový tvar je prezentovaný na tejto schéme: Transformáciu rozvrhneme na jednotlivé kroky:. krok, transformácia vynuluje vyznačené elementy pod diagonálou v. stĺpci.. krok, transformácia vynuluje vyznačené elementy pod diagonálou v.stĺpci.. krok, transformácia 4vykonáva prípravné úpravy. a 4. riadku tak, aby sa mohol vynulovať vyznačený element pod diagonálou v. stĺpci; z. (4.) riadku je vytknuté číslo 6 (8), tieto čísla sú uvedené aj pred determinantom. 4. krok, transformácia 4 5vynásobí tretí riadok číslom /, pred determinant sa vytkne inverzná hodnota tohto čísla. 5. krok, transformácia 5 6 vykoná po prípravných predchádzajúcich dvoch krokoch vynulovanie elementu pod diagonálou v.stĺpci, výsledok je, že sme dostali trojuholníkovú maticu. 6. krok, hodnota determinantu je vypočítaná ako súčin diagonálnych elementov matice krát kumulované čísla pred determinantom, ktoré vznikli ako dôsledok aplikácie elementárnych pravidiel. Možno dokázať, že tento algoritmus patrí medzi najefektívnejšie prístupy k výpočtu determinantu. V prípade, že na diagonále sa nám vygenerovala nula, potom algoritmus môžeme ukončiť, výsledná hodnota determinantu je 0. Bez dôkazu uvedieme dôležitú vetu o determinante súčinu dvoch matíc Veta 9.6. Nech a B sú štvorcové matice rovnakého typu t t n,n determinant súčinu týchto matíc sa rovná súčinu ich determinantov B, potom 9. kapitola str. 4 (.. 05 o 6:07)
15 B B (9.0) ko jednoduchý dôsledok tejto vety je formula pre determinant inverznej matice vyhovuje podmienke E, použitím formuly (9.0) dostaneme k tento výsledok spojíme s vetou 9.4, potom determinant inverznej matice, ktorá (9.) eistuje vtedy a len vtedy, ak hodnosť matice sa rovná jej dimenzii n z typu t n,n h n., t. j. Veta 9.7. Matica je regulárna vtedy a len vtedy, ak jej determinant je nenulový 0 (9.) Jedna zo základných aplikácií determinantov je ich použitie k riešeniu systému lineárnych rovníc b () ktorý má štvorcovú a regulárnu maticu koeficientov (t. j. 0). maticu vyjadríme pomocou stĺpcových vektorov, potom systém () môžeme prepísať do tvaru n k k k n s, s,..., s b b s () Označme symbolom i maticu, ktorá vznikne z matice tak, že jej i-tý stĺpec nahradíme stĺpcovým vektorom konštantných členov b s,..., s, b, s,..., s Budeme počítať determinant tejto matice i i i n s,..., s, b, s,..., s s,..., s, s, s,..., s i i i n i k k i n n k k i s,..., si, sk, si,..., sn i 0 pre ki kde sme použili vlastnosť (9.7) a (9.4b). Za predpokladu, že je regulárna matica, z poslednej rovnice vyplýva riešenie systému lineárnych rovníc v eplicitnom tvare, tento poznatok sformulujeme ako vetu. n Veta 9.8 (Cramerove pravidlo). Systém lineárnych rovníc matica, má riešenie b, kde je regulárna i i (pre i =,,..., n) (9.) V r. 750 toto pravidlo bolo formulované švajčiarskym fyzikom Gabrielom Cramerom. 9. kapitola str. 5 (.. 05 o 6:07)
16 Príklad 9.4. Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla Zostrojíme jednotlivé determinanty z (9.) Potom riešenie 0, 0, 0 6, 6, , 6 Cvičenia Cvičenie 9.. Definujete maticu koeficientov, stĺpcový vektor neznámych a stĺpcový vektor konštantných členov b pre systémy (a) 0, (b) (c) (d) 4 Cvičenie 9.. Riešte pomocou inverznej matice systém rovníc y 6z 4 y z 5y z Cvičenie 9.. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešte systémy lineárnych rovníc 9. kapitola str. 6 (.. 05 o 6:07)
17 (a) (b) (c) (d) y z y z y z y z 4 y z y y 4 y 5 4 6y 8 (e) y z 4 y z (f) kapitola str. 7 (.. 05 o 6:07)
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieŠtudent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieMicrosoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia
Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieMicrosoft Word - 16.kapitola.doc
6. kapitola Logická teória diagnózy zložitých systémov 6. Úvodné poznámky tanovenie diagnózy zložitých systémov v medicíne u človeka, veľkých výrobných zariadení, elektronických obvodov, a pod.) patrí
Podrobnejšie1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn
1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieMicrosoft Word - 8.cvicenie.doc
Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
Podrobnejšie8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieRelačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
PodrobnejšieARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieMultikriteriálna optimalizácia
Multikriteriálna optimalizácia Tomáš Madaras Ústav matematických vied, PF UPJŠ, Košice Príklad Vyberte smartfón s najlepšími parametrami z nasledovnej ponuky: model displej cena pamäť výdrž váha foto (")
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieB5.indd
Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšiePocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD
Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej
PodrobnejšieAplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje
PodrobnejšieViacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšieSK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,
SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.
PodrobnejšieVzhľadom k tomu, že Žiadosť o platbu č
Postup na identifikáciu žiadateľa ako podniku v ťažkostiach podľa Usmernenia Spoločenstva o štátnej pomoci na záchranu a reštrukturalizáciu firiem v ťažkostiach (2004/C244/02) Pred tým, ako bude uvedený
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode]
Výboje v plynoch, V-A charakteristika Oblasť I. : U => I pri väčšej intenzite poľa (E) je pohyb nosičov náboja k elektródam rýchlejší a tak medzi ich vznikom a neutralizáciou na elektródach uplynie kratší
PodrobnejšieOtázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati
Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA PRÁCA 2014 BYSTRÍK KUBALA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V
PodrobnejšieAnalýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
PodrobnejšiePríklad 5 - Benzén 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = kmol/h Definovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude v
Príklad 5 - enzén 3. ilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = 12.862 kmol/h efinovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude vhodné prepočítať na hmotnostný tok. m 1 = n 1*M 1 enzén
Podrobnejšie(ıkolské kolo-PYT)
Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
Podrobnejšie7/1/2015 Úvod do databáz, skúškový test, max 25 bodov, 90 min
19/1/2017 Úvod do databáz, skúškový test, max 60 bodov 1. Uvažujte databázu bez duplikátov a null hodnôt: lubipijan, Alkohol, navstivilidn, Pijan, Krcma, vypilidn, Alkohol, Mnozstvo. Platí: Idn Pijan,
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieHistória
Fakulta riadenia a informatiky ŽU Množiny Pojmy zavedené v 8. prednáške N-rozmerné polia Dvojrozmerné polia matica definícia typ[][] premenna inicializácia new typ[pocetriadkov][pocetstlpcov] práca s prvkami
PodrobnejšiePokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály
Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
PodrobnejšieMicrosoft Word - Priloha_1.docx
Obsah 1 Úvod... 1 2 Hlavné menu verejnej časti ITMS2014+... 1 3 Zoznam ŽoNFP na verejnej časti ITMS2014+... 2 3.1 Vyhľadávanie ŽoNFP... 2 3.2 Horná lišta zoznamu ŽoNFP... 2 3.3 Stĺpce zoznamu ŽoNFP...
PodrobnejšieKatedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005
Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 c Doc. RNDr. J á n D u p l á k, CSc. PREDSLOV Obsah AFINNÉ
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieStatika konštrukcií - prednášky
PEDAGOGICKÁ DOKUMENTÁCIA PREDMETU Názov : Statika konštrukcií Identifikačné číslo : B-501205 Garantujúca katedra, ústav : Katedra stavebnej mechaniky, Ústav inžinierskeho staviteľstva Študijný odbor :
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zmeny v dlhodobom majetku.docx
Zmeny v dlhodobom majetku s dopadom na DPPO A) Úprava základu dane pri osobných automobiloch so vstupnou cenou 48 000 Eur a viac Ak je v evidencii majetku osobný automobil so vstupnou cenou 48 000 Eur
Podrobnejšie1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013
1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5
PodrobnejšieModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica F
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný
Podrobnejšietrafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
Podrobnejšie